номер 190, страница 62, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

190. 1) Докажите, что если к любому трехзначному числу приписать трехзначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится число, делящееся на число 11.

2) Попробуйте самостоятельно сформулировать признаки делимости на число 4 и на число 25, используя разложение числа на разрядные слагаемые.

Какие из чисел 328; 425; 554; 196; 775; 7 589 360; 5000; 2350; 9100 делятся на число 4 и какие из данных чисел делятся на число 25?

1)

Пусть исходное трехзначное число имеет вид $abc$, где $\text{a}$, $\text{b}$, и $\text{c}$ — его цифры ($a \ne 0$). В десятичной системе счисления это число можно записать как $100a + 10b + c$.

Трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет иметь вид $cba$, и его значение равно $100c + 10b + a$.

Если к первому числу приписать второе, получится шестизначное число $abccba$. Запишем это число $\text{N}$ через его разрядные слагаемые:

$N = a \cdot 10^5 + b \cdot 10^4 + c \cdot 10^3 + c \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + a \cdot 10^0$

$N = 100000a + 10000b + 1000c + 100c + 10b + a$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$N = (100000 + 1)a + (10000 + 10)b + (1000 + 100)c$

$N = 100001a + 10010b + 1100c$

Чтобы доказать, что число $\text{N}$ делится на 11, покажем, что каждый коэффициент в этом выражении делится на 11:

$1100 = 11 \cdot 100$. Следовательно, $1100c$ делится на 11.

$10010 = 10 \cdot 1001 = 10 \cdot (11 \cdot 91) = 11 \cdot 910$. Следовательно, $10010b$ делится на 11.

$100001 = 11 \cdot 9091$. Следовательно, $100001a$ делится на 11.

Поскольку каждое слагаемое в сумме $100001a + 10010b + 1100c$ делится на 11, то и вся сумма делится на 11. Можно вынести 11 за скобки:

$N = 11 \cdot (9091a + 910b + 100c)$

Это доказывает, что полученное шестизначное число всегда делится на 11.

Ответ: Доказано, что если к любому трехзначному числу приписать трехзначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится число, делящееся на 11.

2)

Любое натуральное число $\text{N}$ можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Если число имеет больше двух цифр, его можно записать так:

$N = 100 \cdot m + k$, где $\text{k}$ — число, образованное двумя последними цифрами числа $\text{N}$, а $\text{m}$ — число, образованное остальными цифрами. Например, для числа 12345, $m=123$ и $k=45$, то есть $12345 = 100 \cdot 123 + 45$.

Рассмотрим делимость на 4 и 25. Слагаемое $100 \cdot m$ всегда делится и на 4 (так как $100 = 4 \cdot 25$), и на 25 (так как $100 = 25 \cdot 4$). Значит, делимость всего числа $\text{N}$ на 4 или на 25 зависит только от делимости слагаемого $\text{k}$ — числа, образованного двумя последними цифрами.

Отсюда следуют признаки делимости:

Признак делимости на 4: Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 25: Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 25 (то есть оканчивается на 00, 25, 50 или 75).

Применим эти признаки к заданным числам: 328; 425; 554; 196; 775; 7 589 360; 5000; 2350; 9100.

Какие числа делятся на 4:

Проверяем число, образованное двумя последними цифрами.

328 (28 делится на 4), 196 (96 делится на 4), 7 589 360 (60 делится на 4), 5000 (00 делится на 4), 9100 (00 делится на 4).

Числа 425 (25), 554 (54), 775 (75), 2350 (50) на 4 не делятся.

Какие числа делятся на 25:

Проверяем, на что оканчивается число.

425 (оканчивается на 25), 775 (оканчивается на 75), 5000 (оканчивается на 00), 2350 (оканчивается на 50), 9100 (оканчивается на 00).

Числа 328 (28), 554 (54), 196 (96), 7 589 360 (60) на 25 не делятся.

Ответ:

Признак делимости на 4: число делится на 4, если число, составленное из двух его последних цифр, делится на 4.

Признак делимости на 25: число делится на 25, если оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75.

На 4 делятся числа: 328, 196, 7 589 360, 5000, 9100.

На 25 делятся числа: 425, 775, 5000, 2350, 9100.