номер 188, страница 61, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

188. Запишите, если это возможно:

1) число из одних пятерок, чтобы оно делилось на число $\text{9}$;

2) трехзначное число, которое делится на число $\text{3}$ и на число $\text{5}$, но не делится на число $10$;

3) трехзначное число, которое делится на число $\text{2}$ и на число $\text{9}$, но не делится на число $\text{5}$;

4) трехзначное число, которое не делится ни на число $\text{2}$, ни на число $\text{3}$, ни на число $\text{5}$, ни на число $\text{9}$.

1) Чтобы число, состоящее из одних пятерок, делилось на 9, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 9. Это следует из признака делимости на 9. Пусть искомое число состоит из $\text{n}$ пятерок. Тогда сумма его цифр равна $S = 5 \times n$. Чтобы эта сумма делилась на 9, необходимо, чтобы произведение $5 \times n$ было кратно 9. Так как числа 5 и 9 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), множитель $\text{n}$ должен быть кратен 9. Наименьшее натуральное значение для $\text{n}$ в этом случае равно 9. Таким образом, наименьшее число, состоящее из одних пятерок и делящееся на 9, — это число, в котором цифра 5 повторяется 9 раз. Проверим: сумма цифр числа 555 555 555 равна $5 \times 9 = 45$. Число 45 делится на 9 ($45 \div 9 = 5$), значит, и само число 555 555 555 делится на 9.

Ответ: 555 555 555.

2) Нам нужно найти трехзначное число, которое делится на 3 и на 5, но не делится на 10. Признак делимости на 5 гласит, что число должно оканчиваться на 0 или 5. Признак делимости на 10 — число должно оканчиваться на 0. Так как искомое число делится на 5, но не делится на 10, его последняя цифра должна быть 5. Таким образом, число имеет вид $XY5$. Далее, по признаку делимости на 3, сумма цифр числа должна делиться на 3. Для нашего числа это означает, что сумма $X+Y+5$ должна быть кратна 3. Подберем простые значения для $\text{X}$ и $\text{Y}$. Пусть первая цифра $X=1$, а вторая $Y=0$. Получаем число 105. Проверим его: оно трехзначное, оканчивается на 5 (значит, делится на 5, но не на 10), а сумма его цифр $1+0+5=6$. Так как 6 делится на 3, число 105 также делится на 3. Все условия выполнены.

Ответ: 105.

3) Нам нужно найти трехзначное число, которое делится на 2 и на 9, но не делится на 5. По признаку делимости на 2, число должно быть четным, то есть оканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8. По условию, оно не делится на 5, значит, его последняя цифра не может быть 0 или 5. Совмещая эти условия, получаем, что последняя цифра искомого числа может быть 2, 4, 6 или 8. Далее, по признаку делимости на 9, сумма цифр числа должна быть кратна 9. Попробуем составить такое число. Пусть последняя цифра будет 8. Тогда число имеет вид $XY8$. Сумма его цифр $X+Y+8$ должна делиться на 9. Ближайшее кратное 9 число, большее 8, это 9. Значит, можно положить $X+Y+8=9$, откуда $X+Y=1$. Возьмем $X=1$ и $Y=0$. Получаем число 108. Проверим его: оно трехзначное, оканчивается на 8 (делится на 2, не делится на 5), и сумма его цифр $1+0+8=9$ делится на 9. Все условия соблюдены.

Ответ: 108.

4) Нам нужно найти трехзначное число, которое не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 9. Разберем условия:

• Не делится на 2: число должно быть нечетным, т.е. его последняя цифра — 1, 3, 5, 7 или 9.
• Не делится на 5: последняя цифра не должна быть 0 или 5.

• Не делится на 3: сумма цифр числа не должна быть кратна 3.
• Не делится на 9: это условие выполняется автоматически, если число не делится на 3.

Ответ: 101.