номер 282, страница 85, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

282. Назовите наименьшее натуральное число, кратное числам:

1) $15; 30; 50;$

2) $20; 30; 45.$

1) Задача состоит в нахождении наименьшего натурального числа, которое делится без остатка на 15, 30 и 50. Такое число называется наименьшим общим кратным (НОК) этих чисел.

Для нахождения НОК разложим каждое число на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

$50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель из разложений в наибольшей степени, в которой он встречается, и перемножить их.

Множитель 2 встречается в наибольшей степени как $2^1$.

Множитель 3 встречается в наибольшей степени как $3^1$.

Множитель 5 встречается в наибольшей степени как $5^2$.

Теперь перемножим эти степени:

НОК(15, 30, 50) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot 25 = 6 \cdot 25 = 150$.

Проверка:

$150 \div 15 = 10$

$150 \div 30 = 5$

$150 \div 50 = 3$

Наименьшее натуральное число, кратное 15, 30 и 50, это 150.

Ответ: 150

2) Аналогично найдем наименьшее общее кратное для чисел 20, 30 и 45.

Разложим числа на простые множители:

$20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

$45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

Возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:

Наибольшая степень для множителя 2 это $2^2$.

Наибольшая степень для множителя 3 это $3^2$.

Наибольшая степень для множителя 5 это $5^1$.

Перемножим их:

НОК(20, 30, 45) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 36 \cdot 5 = 180$.

Проверка:

$180 \div 20 = 9$

$180 \div 30 = 6$

$180 \div 45 = 4$

Наименьшее натуральное число, кратное 20, 30 и 45, это 180.

Ответ: 180