номер 2, страница 88, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Какими способами можно сократить обыкновенную дробь?

Сокращение обыкновенной дроби — это деление ее числителя и знаменателя на их общий положительный делитель, отличный от 1. Эта операция основана на основном свойстве дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель разделить на одно и то же натуральное число. Цель сокращения — упростить дробь, в идеале, до ее несократимого вида, когда числитель и знаменатель становятся взаимно простыми числами.

Рассмотрим два основных способа сокращения дробей.

Способ 1: Поэтапное сокращение

Этот метод заключается в последовательном делении числителя и знаменателя на любой найденный общий делитель. Процесс повторяется до тех пор, пока у числителя и знаменателя не останется общих делителей, кроме 1. Для поиска делителей удобно использовать признаки делимости на 2, 3, 5 и другие простые числа.

Пример. Сократить дробь $ \frac{48}{72} $.

1. Числитель 48 и знаменатель 72 — четные, поэтому делим их на 2:

$ \frac{48}{72} = \frac{48 \div 2}{72 \div 2} = \frac{24}{36} $

2. Новая дробь $ \frac{24}{36} $ также имеет четные числитель и знаменатель. Повторяем деление на 2:

$ \frac{24}{36} = \frac{24 \div 2}{36 \div 2} = \frac{12}{18} $

3. Продолжаем деление на 2:

$ \frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9} $

4. Теперь числитель 6 и знаменатель 9 имеют общий делитель 3:

$ \frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3} $

Числа 2 и 3 взаимно простые, поэтому дробь $ \frac{2}{3} $ несократимая.

Ответ: $ \frac{48}{72} = \frac{2}{3} $

Способ 2: Сокращение на наибольший общий делитель (НОД)

Этот метод является самым быстрым, так как позволяет сократить дробь за один шаг. Он требует нахождения наибольшего общего делителя (НОД) для числителя и знаменателя, после чего оба они делятся на этот НОД.

Пример. Сократить дробь $ \frac{48}{72} $.

1. Найдем НОД чисел 48 и 72. Для этого разложим их на простые множители:

$ 48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^1 $

$ 72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2 $

2. НОД находится как произведение общих простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени:

$ НОД(48, 72) = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24 $

3. Разделим числитель и знаменатель исходной дроби на их НОД, равный 24:

$ \frac{48}{72} = \frac{48 \div 24}{72 \div 24} = \frac{2}{3} $

В результате сразу получается несократимая дробь.

Ответ: $ \frac{48}{72} = \frac{2}{3} $