номер 322, страница 91, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Применив распределительное свойство умножения, представьте числитель обыкновенной дроби в виде произведения, а затем сократите обыкновенные дроби (320—321):

322. Какие натуральные числа можно записать вместо буквы x, которые не больше знаменателя и при которых дробь сократима:

1) $\frac{x}{10}$;

2) $\frac{x}{15}$;

3) $\frac{x}{12}$;

4) $\frac{x}{20}$?

1) Для дроби $\frac{x}{10}$

Согласно условию, нужно найти все натуральные числа $\text{x}$, которые удовлетворяют двум требованиям: они не больше знаменателя (то есть $x \le 10$) и при них дробь $\frac{x}{10}$ является сократимой.

Дробь является сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. Это означает, что их наибольший общий делитель (НОД) должен быть больше 1: $НОД(x, 10) > 1$.

Разложим знаменатель 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$.

Чтобы дробь была сократимой, число $\text{x}$ должно иметь хотя бы один общий простой множитель с числом 10, то есть $\text{x}$ должен делиться на 2 или на 5.

Выберем из натуральных чисел от 1 до 10 те, которые делятся на 2 или на 5. Это числа: 2 (кратно 2), 4 (кратно 2), 5 (кратно 5), 6 (кратно 2), 8 (кратно 2), 10 (кратно 2 и 5).

Ответ: 2, 4, 5, 6, 8, 10.

2) Для дроби $\frac{x}{15}$

Ищем натуральные числа $\text{x}$ такие, что $x \le 15$ и дробь $\frac{x}{15}$ сократима. Дробь будет сократимой, если $НОД(x, 15) > 1$.

Разложим знаменатель на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$.

Следовательно, числитель $\text{x}$ должен делиться на 3 или на 5. Выпишем все такие натуральные числа $\text{x}$ в диапазоне от 1 до 15: 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15.

Ответ: 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15.

3) Для дроби $\frac{x}{12}$

Ищем натуральные числа $\text{x}$ такие, что $x \le 12$ и дробь $\frac{x}{12}$ сократима. Это значит, что $НОД(x, 12) > 1$.

Простые множители знаменателя: $12 = 2^2 \cdot 3$.

Следовательно, числитель $\text{x}$ должен делиться на 2 или на 3. Выпишем все такие натуральные числа $\text{x}$ в диапазоне от 1 до 12: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12.

Ответ: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12.

4) Для дроби $\frac{x}{20}$

Ищем натуральные числа $\text{x}$ такие, что $x \le 20$ и дробь $\frac{x}{20}$ сократима. Это значит, что $НОД(x, 20) > 1$.

Простые множители знаменателя: $20 = 2^2 \cdot 5$.

Следовательно, числитель $\text{x}$ должен делиться на 2 или на 5. Выпишем все такие натуральные числа $\text{x}$ в диапазоне от 1 до 20: 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20.

Ответ: 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20.