номер 319, страница 91, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Сократите обыкновенные дроби (317–319):

319. 1) $\frac{7 \cdot 5^2 \cdot 13^4}{7^2 \cdot 5^2 \cdot 13^3}$;

2) $\frac{5^3 \cdot 13^3 \cdot 19^2}{5^4 \cdot 13^2 \cdot 19^2}$;

3) $\frac{7^5 \cdot 23^2 \cdot 19^2}{7^4 \cdot 23^3 \cdot 19^2}$.

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{7 \cdot 5^2 \cdot 13^4}{7^2 \cdot 5^2 \cdot 13^3}$, воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Мы можем перегруппировать дробь по основаниям степеней:

$\frac{7 \cdot 5^2 \cdot 13^4}{7^2 \cdot 5^2 \cdot 13^3} = \frac{7^1}{7^2} \cdot \frac{5^2}{5^2} \cdot \frac{13^4}{13^3}$

Теперь выполним сокращение для каждого основания отдельно:

Для основания 7: $\frac{7^1}{7^2} = 7^{1-2} = 7^{-1} = \frac{1}{7}$

Для основания 5: $\frac{5^2}{5^2} = 5^{2-2} = 5^0 = 1$

Для основания 13: $\frac{13^4}{13^3} = 13^{4-3} = 13^1 = 13$

Наконец, перемножим полученные результаты:

$\frac{1}{7} \cdot 1 \cdot 13 = \frac{13}{7}$

Ответ: $\frac{13}{7}$

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{5^3 \cdot 13^3 \cdot 19^2}{5^4 \cdot 13^2 \cdot 19^2}$, применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ к множителям с одинаковыми основаниями:

$\frac{5^3 \cdot 13^3 \cdot 19^2}{5^4 \cdot 13^2 \cdot 19^2} = \frac{5^3}{5^4} \cdot \frac{13^3}{13^2} \cdot \frac{19^2}{19^2}$

Выполним вычисления для каждого основания:

Для основания 5: $\frac{5^3}{5^4} = 5^{3-4} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

Для основания 13: $\frac{13^3}{13^2} = 13^{3-2} = 13^1 = 13$

Для основания 19: $\frac{19^2}{19^2} = 19^{2-2} = 19^0 = 1$

Перемножим результаты:

$\frac{1}{5} \cdot 13 \cdot 1 = \frac{13}{5}$

Ответ: $\frac{13}{5}$

3)

Для сокращения дроби $\frac{7^5 \cdot 23^2 \cdot 19^2}{7^4 \cdot 23^3 \cdot 19^2}$ используем то же свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Сгруппируем множители:

$\frac{7^5 \cdot 23^2 \cdot 19^2}{7^4 \cdot 23^3 \cdot 19^2} = \frac{7^5}{7^4} \cdot \frac{23^2}{23^3} \cdot \frac{19^2}{19^2}$

Сократим дроби для каждого основания:

Для основания 7: $\frac{7^5}{7^4} = 7^{5-4} = 7^1 = 7$

Для основания 23: $\frac{23^2}{23^3} = 23^{2-3} = 23^{-1} = \frac{1}{23}$

Для основания 19: $\frac{19^2}{19^2} = 19^{2-2} = 19^0 = 1$

Теперь найдем произведение полученных значений:

$7 \cdot \frac{1}{23} \cdot 1 = \frac{7}{23}$

Ответ: $\frac{7}{23}$