номер 317, страница 91, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Сократите обыкновенные дроби (317–319):

317.

1) $\frac{2^2 \cdot 7}{2 \cdot 7^2}$;

2) $\frac{3^2 \cdot 5^4}{3 \cdot 5^2}$;

3) $\frac{3^2 \cdot 7 \cdot 13^2}{3 \cdot 11 \cdot 13^3}$.

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{2^2 \cdot 7}{2 \cdot 7^2} $, необходимо сократить множители с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе. Используем свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ (или просто сокращаем общие множители).

Выражение можно переписать как $ \frac{2 \cdot 2 \cdot 7}{2 \cdot 7 \cdot 7} $. Сокращаем один множитель 2 и один множитель 7 в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{7}}{\cancel{2} \cdot \cancel{7} \cdot 7} = \frac{2}{7} $.

Используя свойство степеней:

$ \frac{2^2 \cdot 7^1}{2^1 \cdot 7^2} = 2^{2-1} \cdot 7^{1-2} = 2^1 \cdot 7^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{7} $.

Ответ: $ \frac{2}{7} $.

2) Сократим дробь $ \frac{3^2 \cdot 5^4}{3 \cdot 5^2} $. Применим то же свойство степеней для оснований 3 и 5.

$ \frac{3^2}{3^1} = 3^{2-1} = 3^1 = 3 $.

$ \frac{5^4}{5^2} = 5^{4-2} = 5^2 = 25 $.

Теперь перемножим полученные результаты:

$ 3 \cdot 25 = 75 $.

Таким образом, $ \frac{3^2 \cdot 5^4}{3 \cdot 5^2} = 75 $.

Ответ: 75.

3) Сократим дробь $ \frac{3^2 \cdot 7 \cdot 13^2}{3 \cdot 11 \cdot 13^3} $. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сократим их. Множители с уникальными основаниями (7 и 11) остаются на своих местах.

$ \frac{3^2 \cdot 7 \cdot 13^2}{3 \cdot 11 \cdot 13^3} = \frac{3^2}{3^1} \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{13^2}{13^3} $.

Применяем свойство степеней:

$ 3^{2-1} \cdot \frac{7}{11} \cdot 13^{2-3} = 3^1 \cdot \frac{7}{11} \cdot 13^{-1} = 3 \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{1}{13} $.

Осталось перемножить числители и знаменатели:

$ \frac{3 \cdot 7}{11 \cdot 13} = \frac{21}{143} $.

Ответ: $ \frac{21}{143} $.