номер 311, страница 90, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

311. Выпишите все натуральные числа, которые меньше знаменателя и при подстановке которых вместо буквы а дробь будет сократима:

1) $\frac{a}{9}$;

2) $\frac{a}{16}$;

3) $\frac{a}{24}$;

4) $\frac{a}{30}$.

1) Условие задачи заключается в том, чтобы найти все натуральные числа $\text{a}$, которые меньше знаменателя, и для которых дробь $\frac{a}{9}$ является сократимой. Дробь сократима, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Другими словами, наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя должен быть больше 1, то есть $НОД(a, 9) > 1$.

Сначала разложим знаменатель 9 на простые множители: $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$.

Единственный простой делитель числа 9 — это 3. Следовательно, дробь $\frac{a}{9}$ будет сократимой, если числитель $\text{a}$ также делится на 3.

По условию, $\text{a}$ — это натуральное число, меньшее 9. То есть $\text{a}$ может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Из этих чисел выберем те, которые делятся на 3. Это числа 3 и 6.

Проверка:

При $a=3$: дробь $\frac{3}{9}$ сокращается на 3, получается $\frac{1}{3}$.

При $a=6$: дробь $\frac{6}{9}$ сокращается на 3, получается $\frac{2}{3}$.

Ответ: 3, 6.

2) Рассматриваем дробь $\frac{a}{16}$. Нам нужно найти все натуральные числа $\text{a}$, для которых $1 \le a < 16$ и дробь сократима.

Дробь будет сократима, если $НОД(a, 16) > 1$.

Разложим знаменатель 16 на простые множители: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.

Единственный простой делитель числа 16 — это 2. Значит, дробь будет сократима, если числитель $\text{a}$ делится на 2, то есть является четным числом.

Выпишем все четные натуральные числа, меньшие 16: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.

Ответ: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.

3) Рассматриваем дробь $\frac{a}{24}$. Ищем натуральные числа $\text{a}$, для которых $1 \le a < 24$ и дробь сократима ($НОД(a, 24) > 1$).

Разложим знаменатель 24 на простые множители: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Простые делители числа 24 — это 2 и 3. Дробь будет сократима, если числитель $\text{a}$ делится на 2 или на 3.

Выпишем все натуральные числа от 1 до 23, которые делятся на 2 или на 3.

Числа, кратные 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22.

Числа, кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21.

Объединяем эти два списка, убирая повторения: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22.

Ответ: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22.

4) Рассматриваем дробь $\frac{a}{30}$. Ищем натуральные числа $\text{a}$, для которых $1 \le a < 30$ и дробь сократима ($НОД(a, 30) > 1$).

Разложим знаменатель 30 на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Простые делители числа 30 — это 2, 3 и 5. Дробь будет сократима, если числитель $\text{a}$ делится на 2, или на 3, или на 5.

Вместо того, чтобы перечислять все такие числа, можно найти те, которые взаимно просты с 30 (т.е. для которых дробь несократима), а затем исключить их из общего списка чисел от 1 до 29.

Числа, взаимно простые с 30, не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5. В диапазоне от 1 до 29 это: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Следовательно, для всех остальных натуральных чисел $\text{a}$ от 1 до 29 дробь $\frac{a}{30}$ будет сократимой.

Выпишем эти числа: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28.