номер 305, страница 89, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

При выполнении упражнений 304-309 используйте таблицу простых чисел.

Убедитесь в том, что несократимы обыкновенные дроби (304-305):

305. 1) $\frac{71-10}{41-10}$;

2) $\frac{41+6}{53 \cdot 6}$;

3) $\frac{101+2}{109-2}$.

Чтобы убедиться, что обыкновенная дробь является несократимой, необходимо показать, что её числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для этого найдём значения числителей и знаменателей, а затем определим их общие делители.

1)

Рассмотрим дробь $\frac{71-10}{41-10}$.

Сначала выполним вычисления в числителе и знаменателе:

Числитель: $71 - 10 = 61$

Знаменатель: $41 - 10 = 31$

Таким образом, мы получили дробь $\frac{61}{31}$.

Чтобы проверить, является ли эта дробь несократимой, определим, являются ли числа 61 и 31 взаимно простыми. Согласно таблице простых чисел, и 61, и 31 являются простыми числами. Простые числа по определению делятся только на 1 и на самих себя.

Поскольку 61 и 31 — различные простые числа, их единственный общий делитель — это 1. Следовательно, $НОД(61, 31) = 1$.

Это означает, что дробь $\frac{61}{31}$ несократимая.

Ответ: Дробь $\frac{71-10}{41-10} = \frac{61}{31}$ несократимая, так как числитель 61 и знаменатель 31 являются простыми числами.

2)

Рассмотрим дробь $\frac{41+6}{53 \cdot 6}$.

Выполним вычисления:

Числитель: $41 + 6 = 47$

Знаменатель: $53 \cdot 6 = 318$

Получили дробь $\frac{47}{318}$.

Проверим, является ли число 47 простым. Используя таблицу простых чисел или проверку делимости на простые числа, меньшие $\sqrt{47} \approx 6.8$ (т.е. на 2, 3, 5), убеждаемся, что 47 — простое число.

Для того чтобы дробь была сократимой, знаменатель 318 должен делиться на 47. Проверим это: $318 \div 47 \approx 6.76$, то есть нацело не делится.

Также можно разложить знаменатель на простые множители: $318 = 2 \cdot 159 = 2 \cdot 3 \cdot 53$.

Простые множители числителя (47) и знаменателя (2, 3, 53) не имеют общих чисел. Значит, $НОД(47, 318) = 1$.

Следовательно, дробь $\frac{47}{318}$ является несократимой.

Ответ: Дробь $\frac{41+6}{53 \cdot 6} = \frac{47}{318}$ несократимая, так как числитель 47 является простым числом, а знаменатель 318 на 47 не делится.

3)

Рассмотрим дробь $\frac{101+2}{109-2}$.

Выполним вычисления:

Числитель: $101 + 2 = 103$

Знаменатель: $109 - 2 = 107$

Получили дробь $\frac{103}{107}$.

Проверим, являются ли числа 103 и 107 простыми. Обратившись к таблице простых чисел, мы можем подтвердить, что и 103, и 107 являются простыми числами.

Поскольку и числитель 103, и знаменатель 107 являются различными простыми числами, их наибольший общий делитель равен 1. То есть, $НОД(103, 107) = 1$.

Следовательно, дробь $\frac{103}{107}$ несократимая.

Ответ: Дробь $\frac{101+2}{109-2} = \frac{103}{107}$ несократимая, так как числитель 103 и знаменатель 107 являются простыми числами.