номер 299, страница 89, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Сократите, если это возможно, обыкновенные дроби (298—299):

299. 1) $\frac{21}{49}$;

2) $\frac{41}{282}$;

3) $\frac{45}{702}$;

4) $\frac{23}{32}$;

5) $\frac{36}{54}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{21}{49}$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) числителя 21 и знаменателя 49. Разложим оба числа на простые множители:

$21 = 3 \cdot 7$

$49 = 7 \cdot 7$

Общим множителем является 7, следовательно, НОД(21, 49) = 7. Теперь разделим числитель и знаменатель дроби на их НОД:

$\frac{21}{49} = \frac{21 \div 7}{49 \div 7} = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{41}{282}$. Для ее сокращения нужно найти НОД(41, 282). Число 41 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя. Проверим, делится ли знаменатель 282 на 41.

$282 \div 41 \approx 6.87$. Деление нецелочисленное.

Так как числитель 41 — простое число, и знаменатель 282 на него не делится, то у этих чисел нет общих делителей, кроме 1. Следовательно, дробь является несократимой.

Ответ: сократить невозможно.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{45}{702}$, найдем НОД(45, 702). Воспользуемся признаками делимости. Сумма цифр числителя $4+5=9$, а сумма цифр знаменателя $7+0+2=9$. Так как суммы цифр обоих чисел делятся на 9, то и сами числа делятся на 9.

Разделим числитель и знаменатель на 9:

$45 \div 9 = 5$

$702 \div 9 = 78$

$\frac{45}{702} = \frac{5}{78}$

Проверим, можно ли сократить полученную дробь $\frac{5}{78}$. Числитель 5 — простое число. Знаменатель 78 не делится на 5 (так как не оканчивается на 0 или 5). Значит, дробь $\frac{5}{78}$ несократима.

Ответ: $\frac{5}{78}$

4) Рассмотрим дробь $\frac{23}{32}$. Для ее сокращения найдем НОД(23, 32). Число 23 является простым. Разложим знаменатель 32 на простые множители:

$32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$

Простые множители чисел 23 и 32 не имеют общих чисел. Таким образом, их единственный общий делитель — это 1. Значит, дробь является несократимой.

Ответ: сократить невозможно.

5) Чтобы сократить дробь $\frac{36}{54}$, найдем НОД(36, 54). Можно заметить, что оба числа четные, и оба делятся на 9 (так как сумма их цифр делится на 9: $3+6=9$ и $5+4=9$). Значит, оба числа делятся на $2 \cdot 9 = 18$. Это и есть их наибольший общий делитель.

Разделим числитель и знаменатель на 18:

$\frac{36}{54} = \frac{36 \div 18}{54 \div 18} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$