номер 584, страница 11, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

584. Три экскаватора различной мощности могут вырыть котлован, работая по отдельности: первый — за 10 дней, второй — за 12 дней, третий — за 15 дней. За сколько дней они выроют котлован, работая совместно?

Для решения этой задачи необходимо найти производительность каждого экскаватора, а затем их общую производительность при совместной работе.

1. Примем весь объем работы по выкапыванию котлована за 1 (одну целую).

2. Определим производительность каждого экскаватора. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 день).

Производительность первого экскаватора: если он выкапывает котлован за 10 дней, то за 1 день он выполняет $ \frac{1}{10} $ часть работы.

Производительность второго экскаватора: если он выкапывает котлован за 12 дней, то за 1 день он выполняет $ \frac{1}{12} $ часть работы.

Производительность третьего экскаватора: если он выкапывает котлован за 15 дней, то за 1 день он выполняет $ \frac{1}{15} $ часть работы.

3. Найдем общую производительность при совместной работе, сложив их индивидуальные производительности:

$ P_{общ} = \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} $

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 10, 12 и 15 равно 60.

$ \frac{1 \cdot 6}{10 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{6}{60} + \frac{5}{60} + \frac{4}{60} = \frac{6+5+4}{60} = \frac{15}{60} $

4. Сократим полученную дробь:

$ \frac{15}{60} = \frac{1}{4} $

Таким образом, работая вместе, три экскаватора за один день выполняют $ \frac{1}{4} $ часть всей работы.

5. Чтобы найти, за сколько дней они выроют весь котлован, нужно весь объем работы (1) разделить на их совместную производительность ($ \frac{1}{4} $):

$ T = 1 : \frac{1}{4} = 1 \cdot 4 = 4 $ дня.

Ответ: 4 дня.