номер 588, страница 12, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Сформулируйте вопросы и решите задачи (587–589):

588. Бассейн заполняется через две трубы за $3\frac{1}{3}$ ч. Если открыть только первую трубу, то он наполнится за 6 ч. ...

За какое время наполнится бассейн, если открыть только вторую трубу?

Примем весь объем бассейна за 1.

Производительность (скорость заполнения) первой трубы, если она заполняет весь бассейн за 6 часов, составляет $v_1 = \frac{1}{6}$ бассейна в час.

Две трубы вместе заполняют бассейн за $3 \frac{1}{3}$ часа. Переведем это время в неправильную дробь: $3 \frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$ часа.

Совместная производительность двух труб составляет $v_{1+2} = 1 \div \frac{10}{3} = \frac{3}{10}$ бассейна в час.

Чтобы найти производительность второй трубы, нужно из совместной производительности вычесть производительность первой трубы:

$v_2 = v_{1+2} - v_1 = \frac{3}{10} - \frac{1}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$v_2 = \frac{3 \times 3}{10 \times 3} - \frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{9}{30} - \frac{5}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$ бассейна в час.

Теперь найдем время, за которое вторая труба в одиночку заполнит весь бассейн:

$t_2 = 1 \div v_2 = 1 \div \frac{2}{15} = 1 \times \frac{15}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$ часа.

7,5 часа — это 7 часов и 0,5 часа, то есть 7 часов 30 минут.

Ответ: за 7,5 часов (или 7 часов 30 минут).

Какую часть бассейна заполнит каждая труба за время их совместной работы?

Время совместной работы двух труб, как дано в условии, составляет $t_{1+2} = 3 \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ часа.

Производительность первой трубы $v_1 = \frac{1}{6}$ бассейна в час. За время совместной работы первая труба заполнит:

$W_1 = v_1 \times t_{1+2} = \frac{1}{6} \times \frac{10}{3} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$ бассейна.

Производительность второй трубы, как мы нашли в предыдущем решении, составляет $v_2 = \frac{2}{15}$ бассейна в час. За время совместной работы вторая труба заполнит:

$W_2 = v_2 \times t_{1+2} = \frac{2}{15} \times \frac{10}{3} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$ бассейна.

Проверим: $\frac{5}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1$. Вместе они заполнили весь бассейн.

Ответ: первая труба заполнит $\frac{5}{9}$ бассейна, а вторая — $\frac{4}{9}$ бассейна.