номер 585, страница 11, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

585. Одна швея может выполнить весь заказ за 20 дней, второй для выполнения заказа требуется $\frac{3}{5}$ этого времени, третьей — в $2\frac{1}{2}$ раза больше времени, чем второй. За сколько времени выполнят весь заказ три швеи, работая совместно?

Для решения задачи сначала найдём, сколько времени требуется каждой швее для выполнения всего заказа по отдельности. Время первой швеи составляет 20 дней.

Второй швее для выполнения заказа требуется $\frac{3}{5}$ от времени первой. Рассчитаем это значение:

$20 \cdot \frac{3}{5} = \frac{20 \cdot 3}{5} = 4 \cdot 3 = 12$ дней.

Третьей швее требуется в $2\frac{1}{2}$ раза больше времени, чем второй. Переведём смешанное число $2\frac{1}{2}$ в неправильную дробь $\frac{5}{2}$ и рассчитаем время для третьей швеи:

$12 \cdot 2\frac{1}{2} = 12 \cdot \frac{5}{2} = \frac{12 \cdot 5}{2} = 6 \cdot 5 = 30$ дней.

Теперь, зная время работы каждой швеи, найдём их производительность (часть заказа, выполняемую за 1 день), приняв весь заказ за 1 (единицу).

Производительность первой швеи: $\frac{1}{20}$ заказа в день.

Производительность второй швеи: $\frac{1}{12}$ заказа в день.

Производительность третьей швеи: $\frac{1}{30}$ заказа в день.

При совместной работе их производительности складываются. Найдём общую производительность $P_{общ}$:

$P_{общ} = \frac{1}{20} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30}$

Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным для чисел 20, 12 и 30 является 60.

$P_{общ} = \frac{1 \cdot 3}{60} + \frac{1 \cdot 5}{60} + \frac{1 \cdot 2}{60} = \frac{3}{60} + \frac{5}{60} + \frac{2}{60} = \frac{3+5+2}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$

Это значит, что, работая вместе, три швеи выполняют $\frac{1}{6}$ часть заказа за один день. Следовательно, чтобы выполнить весь заказ, им потребуется время, обратное их общей производительности:

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6$ дней.

Ответ: 6 дней.