номер 771, страница 67, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

771. 1) По какой закономерности составлена последовательность из дробей:

а) $0,2; 0,02; 0,002; ...$ ;

б) $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{5}; \frac{1}{7}; ...$?

2) Укажите недостающие числа последовательности:

а) $6,3; ...; 4,9; ...; 3,5; ...$

б) $\frac{2}{5}; \frac{4}{15}; ...; \frac{8}{25}; ...; \frac{12}{35}$.

3) Напишите последовательность из обыкновенных дробей, числители которых нечетные однозначные числа, знаменатели на четыре больше соответствующих числителей. Сколько чисел в данной последовательности? Почему?

1)

а) Последовательность 0,2; 0,02; 0,002; ... является геометрической прогрессией. Каждый следующий член последовательности получается путем деления предыдущего члена на 10. Например, $0,2 / 10 = 0,02$ и $0,02 / 10 = 0,002$.

Ответ: Каждый следующий член последовательности в 10 раз меньше предыдущего.

б) В последовательности дробей $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{5}; \frac{1}{7}; ...$ числитель каждой дроби равен 1, а знаменатели 2, 3, 5, 7, ... представляют собой последовательность простых чисел в порядке их возрастания.

Ответ: Числитель дробей равен 1, а знаменатели являются последовательными простыми числами.

2)

а) Рассмотрим последовательность: 6,3; ...; 4,9; ...; 3,5; ... . Данная последовательность является арифметической прогрессией. Между членами 6,3 и 4,9 есть один пропуск, значит 4,9 является третьим членом прогрессии, если 6,3 — первый. Обозначим разность прогрессии как $\text{d}$. Тогда $a_3 = a_1 + 2d$, или $4,9 = 6,3 + 2d$. Отсюда $2d = 4,9 - 6,3 = -1,4$, и, следовательно, $d = -0,7$.

Теперь найдем недостающие числа:

Второй член: $6,3 + (-0,7) = 5,6$.

Четвертый член: $4,9 + (-0,7) = 4,2$.

Шестой член: $3,5 + (-0,7) = 2,8$.

Ответ: 5,6; 4,2; 2,8.

б) Рассмотрим последовательность: $\frac{2}{5}; \frac{4}{15}; ...; \frac{8}{25}; ...; \frac{12}{35}$. Проанализируем числители и знаменатели отдельно.

Последовательность числителей: 2, 4, ..., 8, ..., 12. Это арифметическая прогрессия с разностью 2. Полная последовательность числителей: 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Последовательность знаменателей: 5, 15, ..., 25, ..., 35. Обозначим члены $D_1=5, D_2=15, D_4=25, D_6=35$. Заметим, что разница между членами с четными номерами $D_4-D_2 = 25-15=10$ и $D_6-D_4=35-25=10$. Можно предположить, что и для нечетных номеров разница будет такой же. Найдем недостающие знаменатели: $D_3 = D_1 + 10 = 5 + 10 = 15$ и $D_5 = D_3 + 10 = 15 + 10 = 25$. Таким образом, полная последовательность знаменателей: 5, 15, 15, 25, 25, 35.

Теперь можем найти недостающие дроби:

Третий член: числитель 6, знаменатель 15. Дробь $\frac{6}{15}$.

Пятый член: числитель 10, знаменатель 25. Дробь $\frac{10}{25}$.

Ответ: $\frac{6}{15}; \frac{10}{25}$.

3)

Нечетные однозначные числа — это 1, 3, 5, 7, 9.

По условию, знаменатель каждой дроби на четыре больше соответствующего числителя. Составим дроби:

Для числителя 1 знаменатель будет $1+4=5$, дробь $\frac{1}{5}$.

Для числителя 3 знаменатель будет $3+4=7$, дробь $\frac{3}{7}$.

Для числителя 5 знаменатель будет $5+4=9$, дробь $\frac{5}{9}$.

Для числителя 7 знаменатель будет $7+4=11$, дробь $\frac{7}{11}$.

Для числителя 9 знаменатель будет $9+4=13$, дробь $\frac{9}{13}$.

Таким образом, мы имеем 5 чисел в последовательности.

Ответ: Последовательность: $\frac{1}{5}, \frac{3}{7}, \frac{5}{9}, \frac{7}{11}, \frac{9}{13}$. В последовательности 5 чисел, потому что существует ровно 5 нечетных однозначных чисел (1, 3, 5, 7, 9), и каждое из них определяет один член последовательности.