номер 775, страница 68, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

775. 1) По какой закономерности составлена последовательность из дробей:

а) 1,5; 1,6; 3,1; 4,7; ...;

б) $\frac{7}{8}$; $\frac{21}{32}$; $\frac{63}{128}$; ... ?

2) Укажите недостающие числа последовательности:

а) 4,4; 8,8; 13,2; ...; 30,8; ...

б) $\frac{3}{64}$; $\frac{9}{32}$; ...; $\frac{21}{8}$; ...; $\frac{33}{2}$.

3) Напишите последовательность из обыкновенных дробей, знаменатели которых двузначные числа меньше 21 и кратные двум, числители в два раза больше соответствующих знаменателей. Сколько чисел в данной последовательности? Почему?

1)

а) В данной последовательности каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Это можно проверить на примере известных членов:

$1,5 + 1,6 = 3,1$ (третий член)

$1,6 + 3,1 = 4,7$ (четвертый член)

Ответ: Каждый член последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих.

б) Данная последовательность является геометрической прогрессией. Чтобы найти её знаменатель (коэффициент), нужно разделить любой член последовательности на предыдущий. Разделим второй член на первый:

$\frac{21}{32} : \frac{7}{8} = \frac{21}{32} \cdot \frac{8}{7} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$

Проверим, получится ли третий член при умножении второго на полученный коэффициент:

$\frac{21}{32} \cdot \frac{3}{4} = \frac{63}{128}$

Результат совпадает, следовательно, закономерность найдена верно.

Ответ: Последовательность является геометрической прогрессией, в которой каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на $\frac{3}{4}$.

2)

а) Данная последовательность является арифметической прогрессией. Найдем её разность, вычитая из последующих членов предыдущие:

$8,8 - 4,4 = 4,4$

$13,2 - 8,8 = 4,4$

Разность прогрессии равна $d = 4,4$. Теперь найдем недостающие числа, последовательно прибавляя эту разность.

Числа между 13,2 и 30,8:

$13,2 + 4,4 = 17,6$

$17,6 + 4,4 = 22,0$

$22,0 + 4,4 = 26,4$

Проверка: $26,4 + 4,4 = 30,8$. Число совпадает с заданным в последовательности.

Число после 30,8:

$30,8 + 4,4 = 35,2$

Ответ: Недостающие числа: 17,6; 22,0; 26,4; 35,2.

б) Проанализируем последовательности числителей и знаменателей отдельно.

Последовательность числителей: 3, 9, ..., 21, ..., 33. Разность между первыми членами $9 - 3 = 6$. Похоже на арифметическую прогрессию с разностью 6. Проверим: $3, 9, (9+6=15), (15+6=21), (21+6=27), (27+6=33)$. Все сходится. Недостающие числители: 15 и 27.

Последовательность знаменателей: 64, 32, ..., 8, ..., 2. Отношение второго члена к первому $32/64 = 1/2$. Похоже на геометрическую прогрессию со знаменателем $1/2$. Проверим: $64, 32, (32/2=16), (16/2=8), (8/2=4), (4/2=2)$. Все сходится. Недостающие знаменатели: 16 и 4.

Собираем недостающие дроби из найденных числителей и знаменателей.

Ответ: Недостающие числа: $\frac{15}{16}$; $\frac{27}{4}$.

3)

Согласно условию, знаменатели дробей должны быть:

1. Двузначными числами (от 10 до 99).

2. Меньше 21.

3. Кратными двум (четными).

Из этих условий следует, что мы ищем четные числа в диапазоне от 10 до 20. Это числа: 10, 12, 14, 16, 18, 20.

Числители, по условию, в два раза больше соответствующих знаменателей. Составим дроби:

$\frac{10 \cdot 2}{10} = \frac{20}{10}$

$\frac{12 \cdot 2}{12} = \frac{24}{12}$

$\frac{14 \cdot 2}{14} = \frac{28}{14}$

$\frac{16 \cdot 2}{16} = \frac{32}{16}$

$\frac{18 \cdot 2}{18} = \frac{36}{18}$

$\frac{20 \cdot 2}{20} = \frac{40}{20}$

Всего в последовательности 6 чисел, так как существует ровно 6 знаменателей, удовлетворяющих заданным условиям.

Ответ: Последовательность: $\frac{20}{10}, \frac{24}{12}, \frac{28}{14}, \frac{32}{16}, \frac{36}{18}, \frac{40}{20}$. В данной последовательности 6 чисел, потому что существует ровно 6 двузначных четных чисел, которые меньше 21.