номер 2, страница 32, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Что называется корнем уравнения? Всегда ли уравнение имеет корень?

Что называется корнем уравнения?

Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной (неизвестного), при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Рассмотрим уравнение с одной переменной $\text{x}$, которое в общем виде можно записать как $f(x) = g(x)$. Число $\text{c}$ будет являться корнем этого уравнения, если при замене переменной $\text{x}$ на число $\text{c}$ мы получим верное равенство $f(c) = g(c)$.

Пример: Рассмотрим линейное уравнение $3x + 5 = 14$. Чтобы проверить, является ли число $\text{3}$ корнем этого уравнения, подставим его вместо $\text{x}$: $3 \cdot 3 + 5 = 9 + 5 = 14$. В результате мы получили $14 = 14$, что является верным числовым равенством. Следовательно, число $\text{3}$ — это корень данного уравнения.

Если мы подставим любое другое число, например, $x=2$, то получим: $3 \cdot 2 + 5 = 6 + 5 = 11$. Равенство $11 = 14$ является неверным, поэтому число $\text{2}$ не является корнем этого уравнения.

Процесс нахождения всех корней уравнения (или доказательства их отсутствия) называется решением уравнения.

Ответ: Корнем уравнения называется значение переменной, которое обращает это уравнение в верное числовое равенство.

Всегда ли уравнение имеет корень?

Нет, не всегда. Существуют уравнения, которые не имеют корней (решений) в заданном числовом множестве.

Вот несколько примеров уравнений, не имеющих корней в множестве действительных чисел:

• Уравнение $x = x + 1$. Если из обеих частей уравнения вычесть $\text{x}$, мы получим ложное равенство $0 = 1$. Это означает, что не существует такого значения $\text{x}$, при котором исходное равенство было бы верным. Следовательно, у уравнения нет корней.

• Уравнение $x^2 + 9 = 0$. Перенесем 9 в правую часть: $x^2 = -9$. В множестве действительных чисел квадрат любого числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Поскольку $-9 < 0$, не существует такого действительного числа $\text{x}$, квадрат которого был бы равен $-9$. Таким образом, это уравнение не имеет действительных корней.

• Уравнение $\sqrt{x} = -3$. По определению, арифметический квадратный корень из числа — это всегда неотрицательное число. Поэтому он не может быть равен $-3$. У этого уравнения нет действительных корней.

• Уравнение $|x| + 2 = 0$. Это уравнение равносильно $|x| = -2$. Модуль (абсолютная величина) любого действительного числа по определению неотрицателен. Следовательно, это уравнение не имеет решений.

Таким образом, в зависимости от вида, уравнение может иметь один корень (например, $2x=4$), несколько корней (например, $x^2=4$), бесконечное множество корней (например, $\sin(x)=0$) или не иметь корней вовсе.

Ответ: Нет, уравнение не всегда имеет корень. Существуют уравнения, у которых нет решений.