номер 4, страница 32, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. Какие правила используются при решении уравнений?

При решении уравнений используются правила, позволяющие преобразовывать их в более простые, равносильные исходному. Равносильными называются уравнения, имеющие одинаковые множества корней. Основные правила основаны на свойствах числовых равенств и позволяют производить с уравнениями эквивалентные преобразования.

Правило 1: Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую

Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование является следствием свойства, что если к обеим частям верного равенства прибавить (или из них вычесть) одно и то же число или выражение, то равенство сохранится.

Например, в уравнении $x + 5 = 8$ мы можем перенести число 5 в правую часть:

$x = 8 - 5$

$x = 3$

Фактически, это действие является сокращенной записью вычитания числа 5 из обеих частей уравнения: $(x + 5) - 5 = 8 - 5$.

Ответ: Слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, меняя их знак на противоположный.

Правило 2: Умножение или деление обеих частей уравнения

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число или выражение, отличное от нуля. Это позволяет избавляться от коэффициентов при переменной или от знаменателей.

Например, решим уравнение $4x = 20$.

Чтобы найти $\text{x}$, нужно разделить обе части уравнения на 4 (так как $4 \neq 0$):

$\frac{4x}{4} = \frac{20}{4}$

$x = 5$

Важно помнить, что делить на ноль нельзя. Если вы делите или умножаете на выражение с переменной, нужно убедиться, что оно не обращается в ноль, иначе можно потерять корни или приобрести посторонние. Например, в уравнении $x^2 = 5x$ нельзя просто поделить на $\text{x}$, так как теряется корень $x=0$. Правильное решение: $x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x-5)=0$, откуда $x=0$ или $x=5$.

Ответ: Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число (или выражение), не равное нулю.

Правило 3: Тождественные преобразования выражений

В любой части уравнения можно выполнять тождественные преобразования: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения, разложение на множители и т.д. Эти действия упрощают вид уравнения, не меняя множества его корней.

Например, в уравнении $2(x+3) - 7 = x + 4$:

1. Раскроем скобки в левой части: $2x + 6 - 7 = x + 4$.

2. Приведем подобные слагаемые в левой части: $2x - 1 = x + 4$.

Далее можно использовать правила 1 и 2 для нахождения $\text{x}$.

Ответ: Можно выполнять тождественные преобразования (упрощение выражений) в левой и правой частях уравнения, не меняя при этом другую часть.

Правило 4: Учет неравносильных преобразований

Некоторые преобразования, такие как возведение обеих частей уравнения в четную степень или избавление от знаменателя, содержащего переменную, могут привести к появлению посторонних корней или к потере существующих. Такие преобразования называют неравносильными.

Пример с посторонним корнем: Уравнение $\sqrt{x} = -2$ не имеет решений, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Однако если возвести обе части в квадрат, получим $(\sqrt{x})^2 = (-2)^2$, то есть $x=4$. Этот корень является посторонним для исходного уравнения.

Поэтому после таких преобразований необходимо либо выполнять проверку найденных корней, подставляя их в исходное уравнение, либо находить и учитывать Область допустимых значений (ОДЗ) переменной.

Ответ: При выполнении неравносильных преобразований (например, возведение в четную степень, избавление от знаменателя с переменной) обязательна проверка найденных корней или анализ Области допустимых значений (ОДЗ).