номер 3, страница 32, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Что значит решить уравнение?

3. Решить уравнение — это значит найти все его корни (или решения) либо доказать, что уравнение не имеет корней.

Корнем уравнения называется такое значение переменной (неизвестной), при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Например, для уравнения $x + 7 = 10$ корнем является число $x = 3$. Если подставить $\text{3}$ вместо $\text{x}$, мы получим верное равенство $3 + 7 = 10$, то есть $10 = 10$.

Процесс решения уравнения заключается в поиске этих корней. Обычно это делается с помощью равносильных преобразований — действий, которые изменяют вид уравнения, но не меняют множество его корней. Основные преобразования включают:

- Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака на противоположный. Например, в уравнении $5x - 4 = 11$ можно перенести $-4$ вправо, получив $5x = 11 + 4$.

- Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю. Например, уравнение $5x = 15$ можно разделить на $\text{5}$ и получить $x=3$.

В результате решения уравнения возможны три исхода:

1. Уравнение имеет конечное или бесконечное число корней. Например, уравнение $x^2 = 4$ имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Уравнение $\sin(x) = 1$ имеет бесконечное множество корней вида $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $\text{k}$ — любое целое число.

2. Уравнение не имеет корней. Это происходит, когда в результате преобразований получается неверное числовое равенство. Например, уравнение $x + 5 = x + 1$ после вычитания $\text{x}$ из обеих частей приводит к неверному равенству $5 = 1$. Это означает, что решений нет.

3. Корнем уравнения является любое число из области определения. Такое уравнение называется тождеством. Например, уравнение $2(x+3) = 2x + 6$ после раскрытия скобок сводится к верному равенству $2x+6=2x+6$, или $0=0$. Это верно для любого значения $\text{x}$.

Ответ: Решить уравнение — значит найти все значения переменной, при которых оно превращается в верное числовое равенство (найти все его корни), либо доказать, что таких значений не существует.