номер 176, страница 69, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

176. Запишите наименьшее натуральное число, кратное:

1) числам $\text{2}$ и $\text{3}$;

2) числам $\text{6}$ и $\text{8}$;

3) числам $\text{9}$ и $12$;

4) числам $15$ и $21$.

Чтобы найти наименьшее натуральное число, кратное данным, необходимо найти их наименьшее общее кратное (НОК). НОК — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка.

1) числам 2 и 3

Числа 2 и 3 являются взаимно простыми (у них нет общих делителей, кроме 1). Наименьшее общее кратное для взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК(2, 3) = $2 \cdot 3 = 6$.

Проверка: 6 делится на 2 (6 : 2 = 3) и 6 делится на 3 (6 : 3 = 2). Это наименьшее такое число.

Ответ: 6.

2) числам 6 и 8

Чтобы найти НОК, разложим числа 6 и 8 на простые множители:

$6 = 2 \cdot 3$

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Теперь возьмем все простые множители, входящие в разложения, в наивысшей степени, в которой они встречаются, и перемножим их. В наших разложениях есть множители 2 и 3. Наивысшая степень для 2 это 3 ($2^3$), а для 3 это 1 ($3^1$).

НОК(6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Проверка: 24 делится на 6 (24 : 6 = 4) и 24 делится на 8 (24 : 8 = 3).

Ответ: 24.

3) числам 9 и 12

Разложим числа 9 и 12 на простые множители:

$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Возьмем каждый простой множитель в наивысшей степени из разложений. Для множителя 2 это вторая степень ($2^2$), а для множителя 3 это также вторая степень ($3^2$).

НОК(9, 12) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Проверка: 36 делится на 9 (36 : 9 = 4) и 36 делится на 12 (36 : 12 = 3).

Ответ: 36.

4) числам 15 и 21

Разложим числа 15 и 21 на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$21 = 3 \cdot 7$

Простые множители, которые встречаются в разложениях, это 3, 5 и 7. Все они встречаются в первой степени. Перемножим их.

НОК(15, 21) = $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.

Проверка: 105 делится на 15 (105 : 15 = 7) и 105 делится на 21 (105 : 21 = 5).

Ответ: 105.