номер 25, страница 12, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

25. На рисунке $1.7$ изображено движение кузнечика на координатном луче.

Рис. $1.7$

Первоначальному местоположению кузнечика соответствует точка $A(3)$. Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно: на $\text{2}$ единичных отрезка влево, затем на $\text{5}$ единичных отрезков вправо. Сможет ли он за несколько прыжков из точки $A(3)$ попасть в точки с координатами: $\text{2}$, $\text{4}$, $\text{5}$, $\text{7}$, $\text{9}$ и $12$?

Первоначальное положение кузнечика — точка с координатой 3. Прыжки совершаются попеременно: на 2 единицы влево (математически, вычитание 2) и на 5 единиц вправо (прибавление 5). Проследим за перемещением кузнечика по координатному лучу:

• Начальная позиция: $\text{3}$
• 1-й прыжок (влево на 2): $3 - 2 = 1$
• 2-й прыжок (вправо на 5): $1 + 5 = 6$
• 3-й прыжок (влево на 2): $6 - 2 = 4$
• 4-й прыжок (вправо на 5): $4 + 5 = 9$
• 5-й прыжок (влево на 2): $9 - 2 = 7$
• 6-й прыжок (вправо на 5): $7 + 5 = 12$

Таким образом, последовательность координат, в которых оказывается кузнечик, выглядит так: 3 (старт), 1, 6, 4, 9, 7, 12, ... Теперь проверим, сможет ли он попасть в заданные точки.

2 Нет, не сможет. Можно заметить закономерность: начальная точка (3) делится на 3. После прыжка влево координата (1) дает остаток 1 при делении на 3. После прыжка вправо (6) координата снова делится на 3. Таким образом, все возможные координаты кузнечика при делении на 3 дают в остатке либо 0, либо 1. Число 2 при делении на 3 дает в остатке 2 ($2 \equiv 2 \pmod{3}$), поэтому эта точка для кузнечика недостижима.

Ответ: Нет.

4 Да, сможет. Это произойдет после третьего прыжка, как показано в расчетах выше. Последовательность положений: $3 \rightarrow 1 \rightarrow 6 \rightarrow 4$.

Ответ: Да.

5 Нет, не сможет. Используя ту же логику, что и для точки 2, проверим остаток от деления на 3. Число 5 при делении на 3 дает в остатке 2 ($5 \equiv 2 \pmod{3}$). Так как кузнечик может находиться только в точках, координата которых при делении на 3 дает остаток 0 или 1, он никогда не попадет в точку 5.

Ответ: Нет.

7 Да, сможет. Это случится после пятого прыжка. Последовательность положений: $3 \rightarrow 1 \rightarrow 6 \rightarrow 4 \rightarrow 9 \rightarrow 7$.

Ответ: Да.

9 Да, сможет. Он окажется в этой точке после четвертого прыжка. Последовательность положений: $3 \rightarrow 1 \rightarrow 6 \rightarrow 4 \rightarrow 9$.

Ответ: Да.

12 Да, сможет. Кузнечик попадет в эту точку после шестого прыжка. Последовательность положений: $3 \rightarrow 1 \rightarrow 6 \rightarrow 4 \rightarrow 9 \rightarrow 7 \rightarrow 12$.

Ответ: Да.