номер 26, страница 12, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

26*. Старинная задача.

Отец дал денег своим детям. Старшему – половину всех денег и еще 1 рубль, среднему – половину остатка и еще 1 рубль, младшему – половину нового остатка и еще 3 рубля. Сколько денег дал отец детям?

Эту задачу удобнее всего решать с конца, анализируя доли детей в обратном порядке: от младшего к старшему.

1. Сколько денег было перед тем, как их получил младший сын?

Младший сын получил половину нового остатка и еще 3 рубля, после чего деньги закончились. Это значит, что 3 рубля составляют вторую половину остатка, а первая половина, соответственно, тоже была равна 3 рублям. Таким образом, весь остаток, который был перед младшим сыном, составлял $3 + 3 = 6$ рублей. Младший сын получил все 6 рублей.

Можно записать это в виде уравнения. Если $O_{2}$ — это остаток перед младшим сыном, то он получил $\frac{O_{2}}{2} + 3$. Так как это были последние деньги, то его доля равна всему остатку: $\frac{O_{2}}{2} + 3 = O_{2}$. Решая уравнение, находим: $O_{2} - \frac{O_{2}}{2} = 3$, что дает $\frac{O_{2}}{2} = 3$, и, следовательно, $O_{2} = 6$ рублей.

2. Сколько денег было перед тем, как их получил средний сын?

Средний сын получил половину остатка и еще 1 рубль. После него осталось 6 рублей (это остаток $O_2$, который полностью достался младшему). Обозначим остаток перед средним сыном как $O_1$. Сумма в 6 рублей осталась после того, как он взял 1 рубль, значит, до этого было $6 + 1 = 7$ рублей. Эти 7 рублей являются половиной от остатка $O_1$. Следовательно, весь остаток $O_1$ был равен $7 \cdot 2 = 14$ рублей.

Алгебраически: $O_1 - (\frac{O_1}{2} + 1) = 6$. Решая уравнение $O_1 - \frac{O_1}{2} - 1 = 6$, получаем $\frac{O_1}{2} = 7$, и $O_1 = 14$ рублей.

3. Какова была общая сумма денег?

Старший сын получил половину всех денег и еще 1 рубль. После него осталось 14 рублей (остаток $O_1$). Обозначим начальную сумму как $\text{X}$. Рассуждая аналогично, 14 рублей — это сумма, которая осталась после того, как он взял 1 рубль. Значит, до этого было $14 + 1 = 15$ рублей. Эти 15 рублей являются половиной всей первоначальной суммы $\text{X}$. Следовательно, вся сумма $\text{X}$ была равна $15 \cdot 2 = 30$ рублей.

Алгебраически: $X - (\frac{X}{2} + 1) = 14$. Решая уравнение $X - \frac{X}{2} - 1 = 14$, получаем $\frac{X}{2} = 15$, и $X = 30$ рублей.

Проведем проверку:

Изначальная сумма: 30 рублей.

Старший сын получает: $\frac{30}{2} + 1 = 15 + 1 = 16$ рублей. Остаток: $30 - 16 = 14$ рублей.

Средний сын получает: $\frac{14}{2} + 1 = 7 + 1 = 8$ рублей. Остаток: $14 - 8 = 6$ рублей.

Младший сын получает: $\frac{6}{2} + 3 = 3 + 3 = 6$ рублей. Остаток: $6 - 6 = 0$ рублей.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: отец дал детям 30 рублей.