номер 324, страница 115, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

324. Даны разложения чисел на простые множители. Найдите их наименьшее общее кратное:

1) $a = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ и $b = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$;

2) $c = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$ и $d = 2^2 \cdot 5$;

3) $e = 2 \cdot 3 \cdot 11$ и $f = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$;

4) $h = 2 \cdot 5 \cdot 7$ и $k = 5^2 \cdot 7$;

5) $m = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$ и $n = 2^4 \cdot 3$;

6) $x = 2 \cdot 5 \cdot 11$ и $y = 5^2 \cdot 11$.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, разложенных на простые множители, необходимо составить произведение, состоящее из всех простых множителей, входящих в разложения данных чисел. При этом каждый множитель нужно взять с наибольшим показателем степени, с которым он встречается в этих разложениях.

1) Даны числа $a = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ и $b = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$.

В разложение НОК войдут все простые множители ($2, 3, 7$) с наибольшими показателями степеней.

Наибольший показатель для множителя 2 - это 2 (из числа $\text{a}$).

Наибольший показатель для множителя 3 - это 2 (из числа $\text{b}$).

Наибольший показатель для множителя 7 - это 1 (из обоих чисел).

Таким образом, НОК$(a, b) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$.

Ответ: $2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$.

2) Даны числа $c = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$ и $d = 2^2 \cdot 5$.

В разложение НОК войдут все простые множители ($2, 3, 5$) с наибольшими показателями степеней.

Наибольший показатель для множителя 2 - это 2 (из числа $\text{d}$).

Наибольший показатель для множителя 3 - это 3 (из числа $\text{c}$).

Наибольший показатель для множителя 5 - это 1 (из обоих чисел).

Таким образом, НОК$(c, d) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$.

Ответ: $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$.

3) Даны числа $e = 2 \cdot 3 \cdot 11$ и $f = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$.

В разложение НОК войдут все простые множители ($2, 3, 11$) с наибольшими показателями степеней.

Наибольший показатель для множителя 2 - это 3 (из числа $\text{f}$).

Наибольший показатель для множителя 3 - это 1 (из обоих чисел).

Наибольший показатель для множителя 11 - это 1 (из обоих чисел).

Таким образом, НОК$(e, f) = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$.

Ответ: $2^3 \cdot 3 \cdot 11$.

4) Даны числа $h = 2 \cdot 5 \cdot 7$ и $k = 5^2 \cdot 7$.

В разложение НОК войдут все простые множители, которые есть в данных числах ($2, 5, 7$), с наибольшими показателями степеней.

Наибольший показатель для множителя 2 - это 1 (из числа $\text{h}$).

Наибольший показатель для множителя 5 - это 2 (из числа $\text{k}$).

Наибольший показатель для множителя 7 - это 1 (из обоих чисел).

Таким образом, НОК$(h, k) = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$.

Ответ: $2 \cdot 5^2 \cdot 7$.

5) Даны числа $m = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$ и $n = 2^4 \cdot 3$.

В разложение НОК войдут все простые множители, которые есть в данных числах ($2, 3, 5$), с наибольшими показателями степеней.

Наибольший показатель для множителя 2 - это 4 (из числа $\text{n}$).

Наибольший показатель для множителя 3 - это 1 (из обоих чисел).

Наибольший показатель для множителя 5 - это 2 (из числа $\text{m}$).

Таким образом, НОК$(m, n) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2$.

Ответ: $2^4 \cdot 3 \cdot 5^2$.

6) Даны числа $x = 2 \cdot 5 \cdot 11$ и $y = 5^2 \cdot 11$.

В разложение НОК войдут все простые множители, которые есть в данных числах ($2, 5, 11$), с наибольшими показателями степеней.

Наибольший показатель для множителя 2 - это 1 (из числа $\text{x}$).

Наибольший показатель для множителя 5 - это 2 (из числа $\text{y}$).

Наибольший показатель для множителя 11 - это 1 (из обоих чисел).

Таким образом, НОК$(x, y) = 2 \cdot 5^2 \cdot 11$.

Ответ: $2 \cdot 5^2 \cdot 11$.