номер 343, страница 120, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

343. 1) Катер проплыл 105 км между пристанями по течению реки за 5 ч, а против течения – за 7 ч. За сколько часов катер проплывет по озеру 108 км?

А. За 6 ч; В. За 4 ч; С. За 7 ч; D. За 5 ч.

2) По течению реки моторная лодка проплыла 36 км за 2 ч, а против течения – за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывет плот?

1) Для решения задачи необходимо найти собственную скорость катера, которая равна его скорости в стоячей воде (например, в озере).

1. Сначала вычислим скорость катера по течению реки. Для этого разделим пройденное расстояние на время в пути:

$V_{по\;теч.} = \frac{105\;км}{5\;ч} = 21\;км/ч$

2. Затем вычислим скорость катера против течения реки:

$V_{против\;теч.} = \frac{105\;км}{7\;ч} = 15\;км/ч$

3. Собственная скорость катера ($V_{собст.}$) — это среднее арифметическое его скоростей по течению и против течения. Скорость течения ($V_{теч.}$) при этом компенсируется.

$V_{по\;теч.} = V_{собст.} + V_{теч.}$

$V_{против\;теч.} = V_{собст.} - V_{теч.}$

Складывая эти два уравнения, получаем:

$V_{по\;теч.} + V_{против\;теч.} = 2 \cdot V_{собст.}$

Отсюда находим собственную скорость:

$V_{собст.} = \frac{V_{по\;теч.} + V_{против\;теч.}}{2} = \frac{21\;км/ч + 15\;км/ч}{2} = \frac{36\;км/ч}{2} = 18\;км/ч$

4. Теперь, зная собственную скорость катера, мы можем найти, за какое время он проплывет 108 км по озеру, где течение отсутствует:

$t = \frac{S}{V_{собст.}} = \frac{108\;км}{18\;км/ч} = 6\;ч$

Ответ: За 6 ч.

2)

Плот не имеет собственного двигателя и движется со скоростью течения реки. Следовательно, чтобы найти время движения плота, нужно определить скорость течения.

1. Найдем скорость моторной лодки по течению реки:

$V_{по\;теч.} = \frac{36\;км}{2\;ч} = 18\;км/ч$

2. Найдем скорость моторной лодки против течения реки:

$V_{против\;теч.} = \frac{36\;км}{3\;ч} = 12\;км/ч$

3. Скорость течения реки ($V_{теч.}$) можно найти как полуразность скорости по течению и скорости против течения.

$V_{по\;теч.} = V_{собст.} + V_{теч.}$

$V_{против\;теч.} = V_{собст.} - V_{теч.}$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

$V_{по\;теч.} - V_{против\;теч.} = 2 \cdot V_{теч.}$

Отсюда находим скорость течения:

$V_{теч.} = \frac{V_{по\;теч.} - V_{против\;теч.}}{2} = \frac{18\;км/ч - 12\;км/ч}{2} = \frac{6\;км/ч}{2} = 3\;км/ч$

4. Скорость плота равна скорости течения. Найдем время, за которое плот проплывет расстояние в 36 км:

$t_{плот} = \frac{S}{V_{теч.}} = \frac{36\;км}{3\;км/ч} = 12\;ч$

Ответ: За 12 ч.