номер 596, страница 198, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

596. Найдите значение выражения:

1) $1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{5} \cdot 1\frac{1}{6} - \frac{1}{2};$

2) $1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{5} \cdot 1\frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{7} \cdot 1\frac{1}{8} - \frac{1}{4};$

3) $2\frac{1}{2} \cdot 1\frac{2}{5} \cdot 1\frac{2}{7} \cdot 1\frac{2}{9} \cdot 1\frac{2}{11} + \frac{1}{2};$

4) $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{4}{7} \cdot 1\frac{4}{11} \cdot 1\frac{4}{15} \cdot 1\frac{4}{19} - \frac{2}{3}.$

1) $1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{5} \cdot 1\frac{1}{6} - \frac{1}{2}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 1 + 1}{2} = \frac{3}{2}$; $1\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1 + 1}{3} = \frac{4}{3}$; $1\frac{1}{4} = \frac{4 \cdot 1 + 1}{4} = \frac{5}{4}$; $1\frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 1 + 1}{5} = \frac{6}{5}$; $1\frac{1}{6} = \frac{6 \cdot 1 + 1}{6} = \frac{7}{6}$.

Подставим полученные дроби в выражение и выполним умножение. Удобно заметить, что числитель каждой дроби (кроме последней) сокращается со знаменателем следующей дроби (кроме первой):

$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} - \frac{1}{2} = \frac{\cancel{3}}{2} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{6}}{\cancel{5}} \cdot \frac{7}{\cancel{6}} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}$.

Теперь выполним вычитание:

$\frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7-1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: 3.

2) $1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{5} \cdot 1\frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{7} \cdot 1\frac{1}{8} - \frac{1}{4}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$; $1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$; $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$; $1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$; $1\frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.

Подставим дроби в выражение и выполним умножение, сокращая числители и знаменатели:

$\frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{9}{8} - \frac{1}{4} = \frac{\cancel{5}}{4} \cdot \frac{\cancel{6}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{6}} \cdot \frac{\cancel{8}}{\cancel{7}} \cdot \frac{9}{\cancel{8}} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4} - \frac{1}{4}$.

Выполним вычитание:

$\frac{9}{4} - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: 2.

3) $2\frac{1}{2} \cdot 1\frac{2}{5} \cdot 1\frac{2}{7} \cdot 1\frac{2}{9} \cdot 1\frac{2}{11} + \frac{1}{2}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$; $1\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$; $1\frac{2}{7} = \frac{9}{7}$; $1\frac{2}{9} = \frac{11}{9}$; $1\frac{2}{11} = \frac{13}{11}$.

Подставим дроби в выражение и выполним умножение, сокращая числители и знаменатели:

$\frac{5}{2} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{9}{7} \cdot \frac{11}{9} \cdot \frac{13}{11} + \frac{1}{2} = \frac{\cancel{5}}{2} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{9}}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{11}}{\cancel{9}} \cdot \frac{13}{\cancel{11}} + \frac{1}{2} = \frac{13}{2} + \frac{1}{2}$.

Выполним сложение:

$\frac{13}{2} + \frac{1}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

Ответ: 7.

4) $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{4}{7} \cdot 1\frac{4}{11} \cdot 1\frac{4}{15} \cdot 1\frac{4}{19} - \frac{2}{3}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$; $1\frac{4}{7} = \frac{11}{7}$; $1\frac{4}{11} = \frac{15}{11}$; $1\frac{4}{15} = \frac{19}{15}$; $1\frac{4}{19} = \frac{23}{19}$.

Подставим дроби в выражение и выполним умножение, сокращая числители и знаменатели:

$\frac{7}{3} \cdot \frac{11}{7} \cdot \frac{15}{11} \cdot \frac{19}{15} \cdot \frac{23}{19} - \frac{2}{3} = \frac{\cancel{7}}{3} \cdot \frac{\cancel{11}}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{15}}{\cancel{11}} \cdot \frac{\cancel{19}}{\cancel{15}} \cdot \frac{23}{\cancel{19}} - \frac{2}{3} = \frac{23}{3} - \frac{2}{3}$.

Выполним вычитание:

$\frac{23}{3} - \frac{2}{3} = \frac{21}{3} = 7$.

Ответ: 7.