номер 590, страница 197, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

590. 1) На рисунке 3.39 изображен куб, где ABCD - верхняя грань куба. Площадь треугольника ACD равна $24\frac{1}{2}$ $см^2$. Вычислите объем закрашенной части куба.

2) Масса стального бруска 9 кг. Из него изготовили 14 деталей, масса каждой из них $\frac{5}{8}$ кг. Сколько килограммов стали осталось?

Рис. 3.39

1) В условии сказано, что $ABCD$ — верхняя грань куба. Это означает, что $ABCD$ является квадратом. Следовательно, треугольник $ACD$ является прямоугольным, так как угол $\angle D$ прямой ($90^\circ$). Стороны $AD$ и $CD$ — это катеты этого треугольника и одновременно ребра куба. Обозначим длину ребра куба как $\text{a}$. Тогда $AD = CD = a$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Для треугольника $ACD$ площадь $S_{ACD}$ вычисляется так:

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$

По условию задачи, площадь треугольника $ACD$ равна $24\frac{1}{2}$ см². Переведем это смешанное число в неправильную дробь:

$24\frac{1}{2} = \frac{24 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{49}{2}$

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для площади:

$\frac{1}{2}a^2 = \frac{49}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$a^2 = 49$

Отсюда находим длину ребра куба, взяв квадратный корень:

$a = \sqrt{49} = 7$ см.

Закрашенная часть куба — это прямая треугольная призма. Основанием этой призмы является треугольник $ACD$, а ее высота равна ребру куба $\text{a}$.

Объем призмы ($\text{V}$) вычисляется как произведение площади ее основания ($S_{осн}$) на высоту ($\text{h}$):

$V = S_{осн} \cdot h$

В нашем случае $S_{осн} = S_{ACD} = 24\frac{1}{2}$ см², а высота $h = a = 7$ см.

Вычислим объем закрашенной части:

$V = 24\frac{1}{2} \cdot 7 = \frac{49}{2} \cdot 7 = \frac{49 \cdot 7}{2} = \frac{343}{2} = 171.5$ см³.

Ответ: $171.5$ см³.

2)

Первым шагом определим, сколько всего килограммов стали ушло на изготовление 14 деталей. Масса одной детали составляет $\frac{5}{8}$ кг.

Чтобы найти общую массу, умножим количество деталей на массу одной детали:

$14 \cdot \frac{5}{8} = \frac{14 \cdot 5}{8} = \frac{70}{8}$ кг.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{70}{8} = \frac{35}{4}$ кг.

Для удобства дальнейших вычислений представим эту неправильную дробь в виде смешанного числа:

$\frac{35}{4} = 8 \frac{3}{4}$ кг.

Теперь, чтобы узнать, сколько стали осталось, нужно из первоначальной массы бруска вычесть массу, ушедшую на детали.

$9 - 8\frac{3}{4}$

Представим 9 как $8+1$ или $8\frac{4}{4}$:

$9 - 8\frac{3}{4} = 8\frac{4}{4} - 8\frac{3}{4} = (8-8) + (\frac{4}{4} - \frac{3}{4}) = \frac{1}{4}$ кг.

Ответ: $\frac{1}{4}$ кг.