номер 624, страница 208, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

624. Квадрат со стороной $12$ см разбит на квадратные клетки со стороной $\text{4}$ см. В клетках отмечены $37$ точек. Докажите, что найдется клетка, в которой отмечено не менее $\text{5}$ точек.

Данная задача решается с помощью принципа Дирихле. В роли "голубей" выступают точки, а в роли "ящиков" (или "клеток" в терминах принципа) — квадратные клетки, на которые разбит большой квадрат.

1. Сначала найдем общее количество квадратных клеток.Сторона большого квадрата равна 12 см, а сторона одной клетки — 4 см. Следовательно, вдоль одной стороны большого квадрата укладывается $12 \div 4 = 3$ клетки.Общее количество клеток в большом квадрате составляет $3 \times 3 = 9$.Итак, у нас есть 9 "ящиков".

2. По условию, в этих 9 клетках размещено 37 точек ("голубей").

3. Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть не найдется клетки, в которой отмечено не менее 5 точек. Это значит, что в каждой из 9 клеток находится менее 5 точек, то есть 4, 3, 2, 1 или 0 точек. Иначе говоря, в каждой клетке находится не более 4 точек.

4. В таком случае, найдем максимально возможное количество точек, которое можно разместить во всех клетках. Если в каждой из 9 клеток находится не более 4 точек, то общее количество точек не может превышать: $9 \text{ клеток} \times 4 \text{ точки/клетка} = 36 \text{ точек}.$

5. Однако по условию задачи у нас отмечено 37 точек. Мы получили противоречие, так как $37 > 36$. Наше предположение о том, что в каждой клетке находится не более 4 точек, является ложным.

Следовательно, исходное утверждение верно: обязательно найдётся клетка, в которой отмечено не менее 5 точек.

Этот же результат можно получить, применив обобщенный принцип Дирихле, который гласит, что если $\text{N}$ предметов распределить по $\text{k}$ ящикам, то найдётся ящик, содержащий не менее $\lceil N/k \rceil$ предметов (где $\lceil x \rceil$ — округление $\text{x}$ до ближайшего целого в большую сторону). В нашем случае $N = 37$ (точки) и $k = 9$ (клетки). Наименьшее число точек в самой заполненной клетке будет не менее: $\lceil 37 / 9 \rceil = \lceil 4.111... \rceil = 5.$ Таким образом, найдется клетка, в которой отмечено не менее 5 точек.

Ответ: утверждение доказано.