номер 656, страница 215, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

656. Запишите дроби $\frac{4}{5}, \frac{3}{10}, \frac{3}{8}, \frac{3}{7}, \frac{6}{11}$ в виде суммы аликвотных дробей с различными знаменателями.

Аликвотная дробь — это дробь, у которой числитель равен 1. Задача состоит в том, чтобы представить каждую из данных дробей в виде суммы аликвотных дробей с разными знаменателями. Для этого можно использовать разные методы, например, разложение числителя на слагаемые или "жадный" алгоритм.

$\frac{4}{5}$

Чтобы представить дробь $\frac{4}{5}$ в виде суммы аликвотных дробей, можно домножить ее числитель и знаменатель на 2, чтобы получить дробь с более удобным знаменателем: $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10}$.

Теперь представим числитель 8 в виде суммы слагаемых, которые при делении на знаменатель 10 дадут аликвотные дроби. Например, $8 = 5 + 2 + 1$.

Тогда $\frac{8}{10} = \frac{5+2+1}{10} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} + \frac{1}{10}$.

Сократив первые две дроби, получим: $\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$.

Все знаменатели (2, 5, 10) различны. Таким образом, разложение найдено.

Ответ: $\frac{4}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$

$\frac{3}{10}$

Представим числитель 3 в виде суммы слагаемых $2+1$.

Тогда дробь $\frac{3}{10}$ можно записать как $\frac{2+1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10}$.

Сократим первую дробь $\frac{2}{10}$, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

В результате получаем сумму аликвотных дробей с разными знаменателями (5 и 10).

Ответ: $\frac{3}{10} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$

$\frac{3}{8}$

Аналогично предыдущему примеру, представим числитель 3 в виде суммы $2+1$.

Тогда $\frac{3}{8} = \frac{2+1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8}$.

Сократим первую дробь $\frac{2}{8}$, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Получаем сумму аликвотных дробей с различными знаменателями (4 и 8).

Ответ: $\frac{3}{8} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$

$\frac{3}{7}$

Для разложения этой дроби найдем наибольшую аликвотную дробь, которая не превышает $\frac{3}{7}$. Для этого нужно найти наименьшее натуральное число $\text{n}$, такое что $\frac{1}{n} \le \frac{3}{7}$. Это условие равносильно $n \ge \frac{7}{3}$, то есть $n \ge 2.33...$. Наименьшее целое $\text{n}$ равно 3. Таким образом, первая аликвотная дробь в разложении — это $\frac{1}{3}$.

Найдем остаток: $\frac{3}{7} - \frac{1}{3} = \frac{9-7}{21} = \frac{2}{21}$.

Теперь необходимо разложить остаток $\frac{2}{21}$ в сумму аликвотных дробей. Умножим числитель и знаменатель на 2: $\frac{2}{21} = \frac{4}{42}$. Представим числитель 4 как сумму $3+1$: $\frac{4}{42} = \frac{3+1}{42} = \frac{3}{42} + \frac{1}{42}$.

Сократив дробь $\frac{3}{42}$, получим $\frac{1}{14}$. Таким образом, $\frac{2}{21} = \frac{1}{14} + \frac{1}{42}$.

Собирая все части вместе, получаем: $\frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \frac{1}{14} + \frac{1}{42}$.

Все знаменатели (3, 14, 42) различны.

Ответ: $\frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \frac{1}{14} + \frac{1}{42}$

$\frac{6}{11}$

Воспользуемся тем же методом, что и для $\frac{3}{7}$. Найдем наименьшее натуральное $\text{n}$, такое что $\frac{1}{n} \le \frac{6}{11}$, то есть $n \ge \frac{11}{6} \approx 1.83$. Наименьшее целое $\text{n}$ равно 2. Значит, первая дробь - это $\frac{1}{2}$.

Вычтем эту дробь из исходной: $\frac{6}{11} - \frac{1}{2} = \frac{12 - 11}{22} = \frac{1}{22}$.

Остаток $\frac{1}{22}$ уже является аликвотной дробью, и ее знаменатель отличается от знаменателя первой дроби. Таким образом, разложение найдено.

Ответ: $\frac{6}{11} = \frac{1}{2} + \frac{1}{22}$