номер 658, страница 215, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

658. Решите уравнения:

1) $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}} + \frac{2}{3} = 1;$

2) $\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{4}x - \frac{7}{12}} - \frac{1}{2} = \frac{3}{14};$

3) $\frac{2\frac{1}{3}}{\frac{3}{8}x - \frac{5}{6}} + 5\frac{2}{3} = 9\frac{1}{6}.$

1) Исходное уравнение:

$ \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}} + \frac{2}{3} = 1 $

Сначала найдем значение дроби, содержащей неизвестное $\text{x}$. Для этого перенесем $ \frac{2}{3} $ в правую часть уравнения, изменив знак:

$ \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}} = 1 - \frac{2}{3} $

Выполним вычитание в правой части:

$ \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $

Теперь у нас есть пропорция. Чтобы найти неизвестный знаменатель $ \frac{1}{3}x + \frac{1}{4} $, нужно известный числитель $ \frac{3}{4} $ разделить на значение дроби $ \frac{1}{3} $:

$ \frac{1}{3}x + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} : \frac{1}{3} $

Выполним деление дробей, заменив его умножением на обратную дробь:

$ \frac{1}{3}x + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{1} = \frac{9}{4} $

Теперь у нас простое линейное уравнение. Перенесем $ \frac{1}{4} $ в правую часть:

$ \frac{1}{3}x = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} $

$ \frac{1}{3}x = \frac{8}{4} $

$ \frac{1}{3}x = 2 $

Чтобы найти $\text{x}$, умножим обе части уравнения на 3:

$ x = 2 \cdot 3 $

$ x = 6 $

Знаменатель $ \frac{1}{3}x + \frac{1}{4} $ не должен быть равен нулю. При $x=6$ он равен $ \frac{1}{3}(6) + \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4} \neq 0 $.

Ответ: $x=6$.

2)

Исходное уравнение:

$ \frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{4}x - \frac{7}{12}} - \frac{1}{2} = \frac{3}{14} $

Изолируем дробь с неизвестным, перенеся $ \frac{1}{2} $ в правую часть:

$ \frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{4}x - \frac{7}{12}} = \frac{3}{14} + \frac{1}{2} $

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 14:

$ \frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{4}x - \frac{7}{12}} = \frac{3}{14} + \frac{7}{14} = \frac{10}{14} $

Сократим дробь в правой части:

$ \frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{4}x - \frac{7}{12}} = \frac{5}{7} $

Чтобы найти знаменатель $ \frac{1}{4}x - \frac{7}{12} $, разделим числитель $ \frac{5}{6} $ на значение дроби $ \frac{5}{7} $:

$ \frac{1}{4}x - \frac{7}{12} = \frac{5}{6} : \frac{5}{7} $

$ \frac{1}{4}x - \frac{7}{12} = \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{5} = \frac{7}{6} $

Перенесем $ \frac{7}{12} $ в правую часть:

$ \frac{1}{4}x = \frac{7}{6} + \frac{7}{12} $

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$ \frac{1}{4}x = \frac{14}{12} + \frac{7}{12} = \frac{21}{12} $

Сократим дробь в правой части на 3:

$ \frac{1}{4}x = \frac{7}{4} $

Умножим обе части на 4, чтобы найти $\text{x}$:

$ x = 7 $

Знаменатель $ \frac{1}{4}x - \frac{7}{12} $ не должен быть равен нулю. При $x=7$ он равен $ \frac{1}{4}(7) - \frac{7}{12} = \frac{7}{4} - \frac{7}{12} = \frac{21-7}{12} = \frac{14}{12} \neq 0 $.

Ответ: $x=7$.

3)

Исходное уравнение:

$ \frac{2\frac{1}{3}}{\frac{3}{8}x - \frac{5}{6}} + 5\frac{2}{3} = 9\frac{1}{6} $

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$ 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} $, $ 5\frac{2}{3} = \frac{17}{3} $, $ 9\frac{1}{6} = \frac{55}{6} $

Подставим их в уравнение:

$ \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3}{8}x - \frac{5}{6}} + \frac{17}{3} = \frac{55}{6} $

Перенесем $ \frac{17}{3} $ в правую часть:

$ \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3}{8}x - \frac{5}{6}} = \frac{55}{6} - \frac{17}{3} $

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6:

$ \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3}{8}x - \frac{5}{6}} = \frac{55}{6} - \frac{34}{6} = \frac{21}{6} $

Сократим полученную дробь на 3:

$ \frac{\frac{7}{3}}{\frac{3}{8}x - \frac{5}{6}} = \frac{7}{2} $

Выразим знаменатель $ \frac{3}{8}x - \frac{5}{6} $:

$ \frac{3}{8}x - \frac{5}{6} = \frac{7}{3} : \frac{7}{2} $

$ \frac{3}{8}x - \frac{5}{6} = \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{3} $

Перенесем $ \frac{5}{6} $ в правую часть:

$ \frac{3}{8}x = \frac{2}{3} + \frac{5}{6} $

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$ \frac{3}{8}x = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} $

Сократим дробь в правой части на 3:

$ \frac{3}{8}x = \frac{3}{2} $

Чтобы найти $\text{x}$, разделим правую часть на коэффициент при $\text{x}$:

$ x = \frac{3}{2} : \frac{3}{8} = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} $

$ x = \frac{8}{2} = 4 $

Знаменатель $ \frac{3}{8}x - \frac{5}{6} $ не должен быть равен нулю. При $x=4$ он равен $ \frac{3}{8}(4) - \frac{5}{6} = \frac{12}{8} - \frac{5}{6} = \frac{3}{2} - \frac{5}{6} = \frac{9-5}{6} = \frac{4}{6} \neq 0 $.

Ответ: $x=4$.