номер 89, страница 42, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

89. Решите ребус:

1) $\begin{array}{r} \text{XYXY} \\ + \text{YXYX;} \\ \hline \text{ZZZZ} \end{array}$

2) $\begin{array}{r} \text{ABCD} \\ + \text{ABCD} \\ \hline \text{DECB} \end{array}$ $E = 8;$

3) $\begin{array}{r} \text{EPPE} \\ - \text{PEEP} \\ \hline \text{NNCC} \end{array}$ $C = 5.$

1) Запишем ребус в виде математического выражения. Число $XYXY$ можно представить как $1000X + 100Y + 10X + Y = 1010X + 101Y$. Аналогично, число $YXYX$ можно представить как $1000Y + 100X + 10Y + X = 1010Y + 101X$. Сумма $ZZZZ$ равна $1000Z + 100Z + 10Z + Z = 1111Z$.

Сложим два числа: $(1010X + 101Y) + (1010Y + 101X) = 1111X + 1111Y = 1111(X + Y)$.

Приравнивая это к результату, получаем уравнение: $1111(X + Y) = 1111Z$.

Сократив обе части на $1111$, получаем основное соотношение между цифрами: $X + Y = Z$.

Согласно правилам криптарифмов, разные буквы обозначают разные цифры. Также первая цифра в числе не может быть нулём, поэтому $X \neq 0$, $Y \neq 0$ и $Z \neq 0$. Следовательно, $\text{X}$, $\text{Y}$ и $\text{Z}$ — это три различные ненулевые цифры. Поскольку $\text{Z}$ — это одна цифра, сумма $X + Y$ должна быть меньше 10.

Данный ребус имеет несколько решений. Например, если мы выберем $X=2$ и $Y=3$, то $Z = 2 + 3 = 5$. Все цифры (2, 3, 5) различны и не равны нулю. Проверка: $2323 + 3232 = 5555$. Решение верное.

Ответ: $2323 + 3232 = 5555$ (один из возможных ответов, где $X=2$, $Y=3$, $Z=5$).

2) Ребус $ABCD + ABCD = DECB$ эквивалентен уравнению $2 \cdot ABCD = DECB$. По условию $E=8$, значит, результат сложения — это четырёхзначное число вида $D8CB$.

Проанализируем это равенство, рассматривая каждый разряд справа налево (с учётом возможных переносов в старший разряд).

1. Разряд единиц: $2 \cdot D$ оканчивается на $\text{B}$. Математически это записывается как $2D = B + 10c_1$, где $c_1$ — это перенос в разряд десятков (может быть 0 или 1).

2. Разряд десятков: $2 \cdot C + c_1$ оканчивается на $\text{C}$. Это даёт уравнение $2C + c_1 = C + 10c_2$, которое можно упростить до $C + c_1 = 10c_2$. Так как $\text{C}$ — это цифра от 0 до 9, а $c_1$ равно 0 или 1, это уравнение имеет два возможных набора решений для $(C, c_1, c_2)$:

• Если $c_2=0$, то $C+c_1=0$, что возможно только при $C=0$ и $c_1=0$.
• Если $c_2=1$, то $C+c_1=10$. Так как $c_1$ может быть только 1, то $C=9$ и $c_1=1$.

3. Разряд сотен: $2 \cdot B + c_2$ оканчивается на $E=8$. Получаем $2B + c_2 = 8 + 10c_3$.

4. Разряд тысяч: $2 \cdot A + c_3 = D$. $\text{D}$ не может быть 0, так как это первая цифра числа $DECB$.

Рассмотрим первый случай: $C=0$, $c_1=0$, $c_2=0$. Из уравнения для сотен получаем $2B + 0 = 8 + 10c_3$.

• Если $c_3=0$, то $2B=8$, откуда $B=4$.
• Если $c_3=1$, то $2B=18$, откуда $B=9$.

Рассмотрим подслучай $B=9, c_3=1$. Из $2D = B$ получаем $2D=9$, что невозможно для целой цифры $\text{D}$.

Рассмотрим второй случай: $C=9$, $c_1=1$, $c_2=1$. Из уравнения для сотен $2B + 1 = 8 + 10c_3$ или $2B = 7 + 10c_3$. Это уравнение не имеет решений в целых числах для $\text{B}$ ни при $c_3=0$ ($2B=7$), ни при $c_3=1$ ($2B=17$).

Таким образом, существует только одно решение.

Ответ: $1402 + 1402 = 2804$.

3) Дан ребус на вычитание: $EPPE - PEEP = NNCC$. Известно, что $C=5$.

Запишем числа, используя их буквенное представление: $EPPE = 1000E + 100P + 10P + E = 1001E + 110P$, $PEEP = 1000P + 100E + 10E + P = 1001P + 110E$, а результат $NNCC = 1000N + 100N + 10C + C = 1100N + 11C$.

Запишем уравнение: $(1001E + 110P) - (1001P + 110E) = 1100N + 11C$. Упростим левую часть: $(1001-110)E - (1001-110)P = 891E - 891P = 891(E - P)$. Упростим правую часть: $1100N + 11C = 11(100N + C)$. Получаем: $891(E - P) = 11(100N + C)$.

Разделив обе части на 11, получаем: $81(E - P) = 100N + C$.

Подставим известное значение $C=5$: $81(E - P) = 100N + 5$. Правая часть этого уравнения, $100N + 5$, при любом $\text{N}$ будет числом, оканчивающимся на 5. Следовательно, левая часть, $81(E - P)$, также должна оканчиваться на 5. Произведение $81 \cdot k$ оканчивается на 5, только если множитель $\text{k}$ оканчивается на 5.

Так как $\text{E}$ и $\text{P}$ — это цифры (причем ненулевые, так как они стоят в начале чисел), их разность $E - P$ является целым числом в диапазоне от -8 до 8. Единственное такое число, оканчивающееся на 5, — это само число 5. Таким образом, $E - P = 5$.

Подставим $E - P = 5$ в уравнение: $81 \cdot 5 = 100N + 5$. $405 = 100N + 5$ $400 = 100N$ Отсюда $N = 4$.

Итак, мы определили, что $N=4$ и $E-P=5$. Буквы $E, P, N, C$ должны обозначать разные цифры. $N=4$, $C=5$, значит $\text{E}$ и $\text{P}$ должны быть отличны от 4, 5 и друг от друга.

Проверим все возможные пары $(E, P)$:

• $E=6, P=1$. Цифры {6, 1, 4, 5} — все разные. Это решение.
• $E=7, P=2$. Цифры {7, 2, 4, 5} — все разные. Это решение.
• $E=8, P=3$. Цифры {8, 3, 4, 5} — все разные. Это решение.
• $E=9, P=4$. Здесь $P=4$, что совпадает с $N=4$. Так как $\text{P}$ и $\text{N}$ должны быть разными, этот вариант не подходит.

Таким образом, у ребуса есть три возможных решения. Для всех них разность $NNCC$ будет равна $4455$.

1. При $E=6, P=1$: $6116 - 1661 = 4455$.

2. При $E=7, P=2$: $7227 - 2772 = 4455$.

3. При $E=8, P=3$: $8338 - 3883 = 4455$.

Ответ: у ребуса три решения: $6116 - 1661 = 4455$, $7227 - 2772 = 4455$ и $8338 - 3883 = 4455$.