номер 2, страница 45, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

2. Как упростить выражения, используя свойства сложения? Приведите примеры.

Для упрощения выражений, содержащих сложение, используют переместительное и сочетательное свойства. Они позволяют менять слагаемые местами и группировать их так, чтобы вычисления стали удобнее.

Переместительное свойство сложения (коммутативность)

Это свойство утверждает, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Формула: $a + b = b + a$.

Его используют, чтобы поставить рядом числа, которые в сумме дают "круглое" число (например, 10, 100) или сгруппировать одинаковые переменные.

Пример: Упростить выражение $142 + 79 + 58$.

Складывать по порядку неудобно. Заметим, что последние цифры у чисел $142$ и $58$ (2 и 8) в сумме дают 10, поэтому их сумма будет круглым числом. Поменяем местами $79$ и $58$, используя переместительное свойство:

$142 + 58 + 79$.

Теперь сложим первую пару чисел:

$(142 + 58) + 79 = 200 + 79 = 279$.

Ответ: Переместительное свойство ($a+b=b+a$) позволяет менять слагаемые местами для выбора наиболее удобного порядка вычислений.

Сочетательное свойство сложения (ассоциативность)

Это свойство говорит о том, что при сложении трёх и более чисел не имеет значения, в каком порядке их группировать (какие складывать первыми).

Формула: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

На практике это позволяет убирать скобки или ставить их там, где это удобно для вычислений.

Пример: Упростить выражение $(x + 35) + 65$.

Согласно выражению, нужно сначала к $\text{x}$ прибавить $35$. Но мы не можем этого сделать. Используя сочетательное свойство, мы можем изменить группировку:

$(x + 35) + 65 = x + (35 + 65)$.

Теперь можно выполнить сложение чисел:

$x + 100$.

Ответ: Сочетательное свойство ($(a+b)+c=a+(b+c)$) позволяет изменять группировку слагаемых, чтобы упростить промежуточные вычисления.

Совместное использование свойств

Чаще всего для эффективного упрощения выражений оба свойства используются вместе. Это основной способ упрощения.

Пример 1: Упростить и вычислить $323 + 718 + 177 + 282$.

1. Замечаем "удобные" пары: $323$ и $177$ (3+7=10), $718$ и $282$ (8+2=10).

2. Используем переместительное свойство, чтобы поставить их рядом:

$323 + 177 + 718 + 282$.

3. Используем сочетательное свойство, чтобы сгруппировать эти пары в скобках:

$(323 + 177) + (718 + 282)$.

4. Вычисляем суммы в каждой скобке:

$500 + 1000 = 1500$.

Пример 2: Упростить буквенное выражение $(40 + m) + (n + 60)$.

1. Используя сочетательное свойство, можно убрать скобки: $40 + m + n + 60$.

2. Используя переместительное свойство, сгруппируем числа с числами, а переменные с переменными: $m + n + 40 + 60$.

3. Используя сочетательное свойство, сгруппируем числа и вычислим их сумму: $m + n + (40 + 60)$.

4. Получаем упрощенное выражение: $m + n + 100$.

Ответ: Совместное применение переместительного и сочетательного свойств позволяет переставлять и группировать слагаемые в любых выражениях для выполнения вычислений наиболее рациональным способом и приведения подобных слагаемых.