номер 1, страница 45, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1. Чем отличается упрощенное выражение от первоначального?

1. Упрощенное выражение отличается от первоначального несколькими ключевыми аспектами, хотя они и связаны тождественным преобразованием (т.е. являются равными для всех допустимых значений переменных).

Во-первых, формой и сложностью. Упрощенное выражение, как следует из названия, имеет более простой вид. В нем обычно меньше членов, меньше арифметических операций, и оно более наглядно представляет зависимость между переменными. Это делает его более удобным для анализа, вычислений или дальнейших преобразований. Например, выражение $ (x+y)^2 - (x-y)^2 $ после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых превращается в $ 4xy $. Вторая форма гораздо компактнее и удобнее для вычислений.

Во-вторых, областью допустимых значений (ОДЗ). Это самое существенное и важное отличие с точки зрения математической строгости. При упрощении ОДЗ может измениться, а именно — расшириться. Упрощенное выражение может быть определено для тех значений переменных, для которых первоначальное выражение не имело смысла.

Рассмотрим классический пример. Дано выражение: $ \frac{a^2 - 9}{a + 3} $

ОДЗ этого выражения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ a + 3 \neq 0 $, то есть $ a \neq -3 $.

Теперь упростим его, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов: $ \frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 3} $

Сократив дробь на общий множитель $ (a + 3) $, мы получаем упрощенное выражение: $ a - 3 $

ОДЗ для упрощенного выражения $ a - 3 $ — это все действительные числа, так как никаких ограничений (деления на ноль, корней из отрицательных чисел и т.д.) здесь нет.

Таким образом, первоначальное выражение $ \frac{a^2 - 9}{a + 3} $ и упрощенное $ a - 3 $ равны друг другу при всех значениях $ a $, кроме $ a = -3 $. При $ a = -3 $ первоначальное выражение не определено (происходит деление на ноль), а упрощенное равно $ -3 - 3 = -6 $. Из-за этого различия в ОДЗ при решении уравнений или построении графиков функций необходимо всегда исходить из ОДЗ первоначального выражения.

Ответ: Упрощенное выражение отличается от первоначального в первую очередь своей формой (оно короче и содержит меньше операций) и, что более важно, областью допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ упрощенного выражения может быть шире, чем у первоначального, так как в процессе преобразований могут исчезнуть операции, накладывавшие ограничения (например, деление на переменную или извлечение корня). Поэтому выражения считаются тождественно равными только на области определения первоначального выражения.