Задание 1, страница 78, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Задания.

1) Применив решето Эратосфена, составьте таблицу простых чисел:

а) от 1 до 20;

б) от 1 до 50.

а) от 1 до 20

Решето Эратосфена — это алгоритм для нахождения всех простых чисел до заданного целого числа n. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Применим этот метод для нахождения простых чисел в диапазоне от 1 до 20.

1. Выпишем все натуральные числа от 1 до 20:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

2. Число 1 по определению не является простым, вычеркиваем его.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

3. Первое невычеркнутое число после 1 — это 2. Это первое простое число. Оставляем его, а все последующие числа, кратные 2 (т.е. все четные числа), вычеркиваем.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

4. Следующее невычеркнутое число — 3. Это следующее простое число. Оставляем его, а все последующие числа, кратные 3, вычеркиваем. Это 9 и 15 (числа 6, 12, 18 уже были вычеркнуты на предыдущем шаге).

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

5. Следующее невычеркнутое число — 5. Это следующее простое число. Алгоритм можно было бы продолжить, вычеркивая кратные 5, но основной шаг просеивания (вычеркивание) для простого числа p начинается с числа $p^2$. В нашем случае для $p=5$, $p^2=25$, что уже больше нашего максимального числа 20. Это означает, что все оставшиеся невычеркнутые числа в нашем списке являются простыми.

Таким образом, все простые числа от 1 до 20 найдены.

Ответ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

б) от 1 до 50

Теперь применим решето Эратосфена для нахождения простых чисел в диапазоне от 1 до 50. Процедура просеивания (вычеркивания) будет применяться для простых чисел p, квадрат которых не превышает 50, то есть $p^2 \le 50$. Нам нужно будет использовать простые числа 2, 3, 5 и 7, так как $\sqrt{50} \approx 7.07$, а следующее простое число 11 в квадрате дает 121, что больше 50.

1. Выписываем все натуральные числа от 1 до 50. Сразу вычеркиваем 1, так как оно не является простым.

2. Шаг с числом 2: Берем первое простое число 2. Вычеркиваем из списка все числа, кратные 2, кроме самого числа 2. Это все четные числа от 4 до 50.

3. Шаг с числом 3: Следующее невычеркнутое число — 3. Это простое число. Вычеркиваем все числа, кратные 3, кроме самого числа 3 (например, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45). Некоторые из них (например, 6, 12) уже были вычеркнуты как кратные 2.

4. Шаг с числом 5: Следующее невычеркнутое число — 5. Это простое число. Вычеркиваем все числа, кратные 5, кроме самого числа 5. Новые вычеркнутые числа — 25, 35 (так как 15, 20, 30 и т.д. уже вычеркнуты).

5. Шаг с числом 7: Следующее невычеркнутое число — 7. Это простое число. Вычеркиваем все числа, кратные 7, кроме самого числа 7. Единственное новое число для вычеркивания в нашем диапазоне — это 49 (так как 14, 21, 28, 35, 42 уже вычеркнуты).

6. Следующее невычеркнутое число — 11. Так как $11^2 = 121$, а $121 > 50$, то процесс просеивания завершен. Все оставшиеся в списке числа являются простыми.

Список оставшихся чисел и есть таблица простых чисел от 1 до 50.

Ответ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.