номер 198, страница 76, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

198. Даны числа:

1) $111 111$;

2) $171 717$;

3) $414 141$;

4) $232 323$.

Докажите, что эти числа составные.

1) 111 111

Чтобы доказать, что число является составным, достаточно найти хотя бы один его делитель, отличный от единицы и самого числа.

Способ 1: Использование структуры числа.

Число 111 111 образовано троекратным повторением двузначной группы цифр `11`. Любое число вида `ababab` можно разложить на множители, представив его как сумму:

`ababab` $= \text{ab} \times 10000 + \text{ab} \times 100 + \text{ab} = \text{ab} \times (10000 + 100 + 1) = \text{ab} \times 10101$.

Для числа 111 111, где `ab` = 11, получаем:

$111111 = 11 \times 10101$.

Так как 111 111 является произведением двух множителей, больших единицы, оно составное.

Способ 2: Использование признаков делимости.

Сумма цифр числа 111 111 равна $1+1+1+1+1+1 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и само число 111 111 делится на 3 ($111111 = 3 \times 37037$). Наличие делителя 3 доказывает, что число составное.

Ответ: Число 111 111 является составным, так как, например, оно равно произведению $11 \times 10101$.

2) 171 717

Это число имеет ту же структуру `ababab`, где двузначная группа `ab` равна 17.

Аналогично предыдущему пункту, число можно представить в виде произведения:

$171717 = 17 \times 10101$.

Поскольку число представлено как произведение двух целых чисел, больших 1, оно является составным.

Ответ: Число 171 717 является составным, так как оно равно $17 \times 10101$.

3) 414 141

Это число имеет структуру `ababab`, где `ab` = 41.

Представим его в виде произведения:

$414141 = 41 \times 10101$.

Так как 41 и 10101 являются целыми числами, большими 1, их произведение 414 141 является составным числом.

Ответ: Число 414 141 является составным, так как оно равно $41 \times 10101$.

4) 232 323

Это число имеет структуру `ababab`, где `ab` = 23.

Представим его в виде произведения:

$232323 = 23 \times 10101$.

Так как 23 и 10101 являются целыми числами, большими 1, их произведение 232 323 является составным числом.

Ответ: Число 232 323 является составным, так как оно равно $23 \times 10101$.