Задание 1, страница 78, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Задание.

Не вычисляя значение выражения, определите, на какое из двух чисел делится значение выражения:

1) на 30 или на 25 делится произведение $120 \cdot 43$;

1) Чтобы определить, делится ли произведение на некоторое число, не вычисляя само произведение, можно использовать свойства делимости. Произведение делится на число, если в разложении сомножителей на простые множители содержатся все простые множители этого числа.

Рассмотрим делимость произведения $120 \cdot 43$ на 30.

Число 30 можно представить в виде произведения $3 \cdot 10$.

Один из множителей в исходном выражении, 120, очевидно делится на 10, так как заканчивается на 0 ($120 = 12 \cdot 10$).

Также 120 делится на 3, так как сумма его цифр ($1+2+0=3$) делится на 3.

Поскольку 120 делится и на 3, и на 10, а числа 3 и 10 взаимно простые, то 120 делится на их произведение $3 \cdot 10 = 30$.

Так как один из множителей (120) делится на 30, то и все произведение $120 \cdot 43$ делится на 30.

Теперь рассмотрим делимость произведения $120 \cdot 43$ на 25.

Чтобы число делилось на 25, оно должно делиться на 5 дважды. Разложим 25 на простые множители: $25 = 5 \cdot 5$.

Проверим, сколько раз множитель 5 входит в разложение произведения $120 \cdot 43$.

Разложим число 120 на множители: $120 = 10 \cdot 12 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 4)$. В разложении числа 120 множитель 5 встречается один раз.

Число 43 является простым числом и не делится на 5.

Следовательно, во всем произведении $120 \cdot 43$ множитель 5 встречается только один раз. Для делимости на 25 необходимо, чтобы он встречался как минимум дважды. Значит, произведение $120 \cdot 43$ не делится на 25.

Ответ: на 30.