номер 3, страница 180, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Как найти разность смешанных чисел с разными знаменателями?

Чтобы найти разность смешанных чисел с разными знаменателями, существует два основных способа. Рассмотрим оба на примерах.

Способ 1: Поэтапное вычитание целых и дробных частей

Суть этого способа в том, чтобы вычитать целые части отдельно, а дробные — отдельно.

1. Сначала нужно привести дробные части обоих чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).

2. Затем сравнить дробные части. Здесь возможны два сценария:

а) Дробная часть уменьшаемого (первого числа) больше или равна дробной части вычитаемого (второго числа).

В этом случае просто вычитаем целые части из целых, а дробные из дробных, и записываем результат.

Пример: Найдем разность $8\frac{7}{8} - 3\frac{1}{4}$.

НОЗ для знаменателей 8 и 4 равен 8. Приводим дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 8: $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}$.

Получаем: $8\frac{7}{8} - 3\frac{2}{8}$.

Дробная часть первого числа ($\frac{7}{8}$) больше дробной части второго ($\frac{2}{8}$), поэтому вычитаем по частям:

Вычитаем целые части: $8 - 3 = 5$.

Вычитаем дробные части: $\frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8}$.

Результат: $5\frac{5}{8}$.

Ответ: $5\frac{5}{8}$.

б) Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

В этом случае необходимо «занять» единицу у целой части уменьшаемого. Эту единицу нужно представить в виде дроби с нужным знаменателем (например, $1 = \frac{12}{12}$) и прибавить к уже существующей дробной части.

Пример: Найдем разность $5\frac{1}{3} - 2\frac{3}{5}$.

НОЗ для знаменателей 3 и 5 равен 15. Приводим дроби к общему знаменателю:

$5\frac{1}{3} = 5\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = 5\frac{5}{15}$

$2\frac{3}{5} = 2\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = 2\frac{9}{15}$

Получаем: $5\frac{5}{15} - 2\frac{9}{15}$.

Дробная часть $\frac{5}{15}$ меньше, чем $\frac{9}{15}$. «Занимаем» единицу у целой части числа $5\frac{5}{15}$:

$5\frac{5}{15} = 4 + 1 + \frac{5}{15} = 4 + \frac{15}{15} + \frac{5}{15} = 4\frac{20}{15}$.

Теперь выражение выглядит так: $4\frac{20}{15} - 2\frac{9}{15}$.

Вычитаем целые и дробные части:

$(4 - 2) + (\frac{20}{15} - \frac{9}{15}) = 2 + \frac{11}{15} = 2\frac{11}{15}$.

Ответ: $2\frac{11}{15}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби

Этот способ часто бывает проще и универсальнее, так как не требует «занимания» единицы.

1. Преобразовать оба смешанных числа в неправильные дроби. Для этого целую часть умножить на знаменатель, прибавить числитель и записать результат в числитель новой дроби.

2. Привести полученные неправильные дроби к общему знаменателю.

3. Вычесть одну дробь из другой (вычесть числители, знаменатель оставить тем же).

4. Если результат — неправильная дробь, преобразовать его обратно в смешанное число.

Пример: Снова решим $5\frac{1}{3} - 2\frac{3}{5}$.

1. Преобразуем в неправильные дроби:

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

$2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$

2-3. Приводим к общему знаменателю 15 и вычитаем:

$\frac{16}{3} - \frac{13}{5} = \frac{16 \cdot 5}{15} - \frac{13 \cdot 3}{15} = \frac{80}{15} - \frac{39}{15} = \frac{80 - 39}{15} = \frac{41}{15}$.

4. Преобразуем результат в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:

$41 \div 15 = 2$ (остаток $11$).

Следовательно, $\frac{41}{15} = 2\frac{11}{15}$.

Ответ: $2\frac{11}{15}$.