Номер 872, страница 194 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

872. а) $\frac{25}{28} - \frac{18}{35}$;

б) $\frac{40}{63} - \frac{35}{72}$;

В) $\frac{22}{21} - \frac{21}{22}$;

Г) $\frac{40}{143} - \frac{41}{156}$;

Д) $\frac{43}{126} - \frac{41}{135}$;

е) $\frac{239}{240} - \frac{229}{288}$.

а) $\frac{25}{28} - \frac{18}{35}$

Для вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 28 и 35.

Разложим знаменатели на простые множители:
$28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
$35 = 5 \cdot 7$

НОК(28, 35) = $2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.

Приведем дроби к знаменателю 140, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель:
Дополнительный множитель для $\frac{25}{28}$ равен $140 : 28 = 5$.
Дополнительный множитель для $\frac{18}{35}$ равен $140 : 35 = 4$.

$\frac{25 \cdot 5}{28 \cdot 5} - \frac{18 \cdot 4}{35 \cdot 4} = \frac{125}{140} - \frac{72}{140}$

Теперь выполним вычитание числителей:
$\frac{125 - 72}{140} = \frac{53}{140}$.

Дробь $\frac{53}{140}$ является несократимой, так как 53 - простое число.

Ответ: $\frac{53}{140}$.

б) $\frac{40}{63} - \frac{35}{72}$

Найдем НОК знаменателей 63 и 72.

Разложим на простые множители:
$63 = 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$
$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$

НОК(63, 72) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504$.

Приведем дроби к знаменателю 504:
Дополнительный множитель для $\frac{40}{63}$ равен $504 : 63 = 8$.
Дополнительный множитель для $\frac{35}{72}$ равен $504 : 72 = 7$.

$\frac{40 \cdot 8}{63 \cdot 8} - \frac{35 \cdot 7}{72 \cdot 7} = \frac{320}{504} - \frac{245}{504} = \frac{320 - 245}{504} = \frac{75}{504}$.

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 3 (сумма цифр 75 равна 12, сумма цифр 504 равна 9):
$\frac{75 : 3}{504 : 3} = \frac{25}{168}$.

Ответ: $\frac{25}{168}$.

в) $\frac{22}{21} - \frac{21}{22}$

Знаменатели 21 и 22 являются взаимно простыми числами, поэтому их НОК равен их произведению.

НОК(21, 22) = $21 \cdot 22 = 462$.

Приведем дроби к общему знаменателю 462:
Дополнительный множитель для $\frac{22}{21}$ равен 22.
Дополнительный множитель для $\frac{21}{22}$ равен 21.

$\frac{22 \cdot 22}{21 \cdot 22} - \frac{21 \cdot 21}{22 \cdot 21} = \frac{484}{462} - \frac{441}{462} = \frac{484 - 441}{462} = \frac{43}{462}$.

Число 43 - простое, 462 на 43 не делится. Дробь несократимая.

Ответ: $\frac{43}{462}$.

г) $\frac{40}{143} - \frac{41}{156}$

Найдем НОК знаменателей 143 и 156.

Разложим на простые множители:
$143 = 11 \cdot 13$
$156 = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 2 \cdot 39 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13$

НОК(143, 156) = $2^2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13 = 12 \cdot 143 = 1716$.

Приведем дроби к знаменателю 1716:
Дополнительный множитель для $\frac{40}{143}$ равен $1716 : 143 = 12$.
Дополнительный множитель для $\frac{41}{156}$ равен $1716 : 156 = 11$.

$\frac{40 \cdot 12}{143 \cdot 12} - \frac{41 \cdot 11}{156 \cdot 11} = \frac{480}{1716} - \frac{451}{1716} = \frac{480 - 451}{1716} = \frac{29}{1716}$.

Число 29 - простое, 1716 на 29 не делится. Дробь несократимая.

Ответ: $\frac{29}{1716}$.

д) $\frac{43}{126} - \frac{41}{135}$

Найдем НОК знаменателей 126 и 135.

Разложим на простые множители:
$126 = 2 \cdot 63 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$
$135 = 5 \cdot 27 = 5 \cdot 3^3$

НОК(126, 135) = $2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 = 1890$.

Приведем дроби к знаменателю 1890:
Дополнительный множитель для $\frac{43}{126}$ равен $1890 : 126 = 15$.
Дополнительный множитель для $\frac{41}{135}$ равен $1890 : 135 = 14$.

$\frac{43 \cdot 15}{126 \cdot 15} - \frac{41 \cdot 14}{135 \cdot 14} = \frac{645}{1890} - \frac{574}{1890} = \frac{645 - 574}{1890} = \frac{71}{1890}$.

Число 71 - простое, 1890 на 71 не делится. Дробь несократимая.

Ответ: $\frac{71}{1890}$.

е) $\frac{239}{240} - \frac{229}{288}$

Найдем НОК знаменателей 240 и 288.

Разложим на простые множители:
$240 = 24 \cdot 10 = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$
$288 = 2 \cdot 144 = 2 \cdot 12^2 = 2 \cdot (2^2 \cdot 3)^2 = 2 \cdot 2^4 \cdot 3^2 = 2^5 \cdot 3^2$

НОК(240, 288) = $2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 = 32 \cdot 9 \cdot 5 = 1440$.

Приведем дроби к знаменателю 1440:
Дополнительный множитель для $\frac{239}{240}$ равен $1440 : 240 = 6$.
Дополнительный множитель для $\frac{229}{288}$ равен $1440 : 288 = 5$.

$\frac{239 \cdot 6}{240 \cdot 6} - \frac{229 \cdot 5}{288 \cdot 5} = \frac{1434}{1440} - \frac{1145}{1440} = \frac{1434 - 1145}{1440} = \frac{289}{1440}$.

Числитель $289 = 17^2$. Знаменатель 1440 не делится на 17. Дробь несократимая.

Ответ: $\frac{289}{1440}$.