Номер 119, страница 29, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

119 Поставь вместо звёздочек пропущенные цифры:

1) $\begin{array}{r} 3*95* \\ + \quad 7*62 \\ \hline *14*0 \end{array}$

2) $\begin{array}{r} *24*3* \\ - \quad *91*7 \\ \hline 36*908 \end{array}$

3) $\begin{array}{r} 4*8 \\ \times \quad 8* \\ \hline **8 \\ + \quad *6** \\ \hline ***** \end{array}$

4) $\begin{array}{r} 5*6 \\ \times \quad *** \\ \hline **30 \\ **0* \\ + \quad *0* \\ \hline ******* \end{array}$

1)

Будем восстанавливать цифры справа налево, выполняя сложение в столбик.

3*95*
+ 7*62
-------
*14*0

1. Разряд единиц: Сумма некоторой цифры и 2 оканчивается на 0. Это возможно, только если их сумма равна 10. Обозначим пропущенную цифру как $*_1$. Тогда $*_1 + 2 = 10$, откуда $*_1 = 8$. В разряде единиц суммы будет 0, и 1 переносится в разряд десятков.

2. Разряд десятков: Складываем $5 + 6$ и прибавляем 1 из переноса: $5 + 6 + 1 = 12$. Значит, в разряде десятков результата стоит цифра 2, и 1 переносится в разряд сотен.

3. Разряд сотен: Сумма $9$, неизвестной цифры $*_2$ и 1 из переноса должна оканчиваться на 4. То есть $9 + *_2 + 1 = 10 + *_2$ должно оканчиваться на 4. Это возможно, если сумма равна 14. Отсюда $10 + *_2 = 14$, и $*_2 = 4$. В разряде сотен результата будет 4, и 1 переносится в разряд тысяч.

4. Разряд тысяч: Сумма неизвестной цифры $*_3$, 7 и 1 из переноса должна оканчиваться на 1. То есть $*_3 + 7 + 1 = *_3 + 8$ должно оканчиваться на 1. Это возможно, если сумма равна 11. Отсюда $*_3 + 8 = 11$, и $*_3 = 3$. В разряде тысяч результата будет 1, и 1 переносится в разряд десятков тысяч.

5. Разряд десятков тысяч: Складываем 3 и 1 из переноса: $3 + 1 = 4$. Это первая цифра результата.

Проверим полученный пример:

33958
+ 7462
-------
41420

Ответ:

33958
+ 7462
-------
41420

2)

Будем восстанавливать цифры справа налево, выполняя вычитание в столбик.

*24*3*
- *91*7
--------
36*908

1. Разряд единиц: Из $*_1$ вычитают 7 и получают 8. Это значит, что из разряда десятков был взят заем. $(10 + *_1) - 7 = 8$, откуда $3 + *_1 = 8$, и $*_1 = 5$.

2. Разряд десятков: В уменьшаемом была цифра 3, но мы заняли 1, так что осталось 2. $2 - *_2 = 0$, откуда $*_2 = 2$.

3. Разряд сотен: Из $*_3$ вычитают 1 и получают 9. Это значит, что из разряда тысяч был взят заем. $(10 + *_3) - 1 = 9$, откуда $9 + *_3 = 9$, и $*_3 = 0$.

4. Разряд тысяч: В уменьшаемом была цифра 4, но мы заняли 1, осталось 3. $3 - 9$ требует заема из следующего разряда. $(10 + 3) - 9 = 4$. Значит, в разряде тысяч результата стоит цифра 4.

5. Разряд десятков тысяч: В уменьшаемом была цифра 2, но мы заняли 1, осталась 1. $1 - *_4 = 6$ требует заема. $(10 + 1) - *_4 = 6$, откуда $11 - *_4 = 6$, и $*_4 = 5$.

6. Разряд сотен тысяч: В уменьшаемом была цифра $*_5$, но мы заняли 1. $(*_5 - 1) - 0 = 3$, откуда $*_5 = 4$.

Проверим полученный пример:

424035
- 59127
--------
364908

Ответ:

424035
- 59127
--------
364908

3)

Рассмотрим умножение в столбик.

4*8
× 8*
------
***8
+*6**
------
*****

1. Анализ второго частичного произведения: Вторая строка результата `*6**` получена умножением `4*8` на 8. Обозначим `4*8` как `4A8`. Тогда $4A8 \times 8 = *6**$.
- $8 \times 8 = 64$. Последняя цифра второго частичного произведения равна 4, перенос 6.
- $A \times 8 + 6$ (перенос). Результат этого действия формирует предпоследнюю цифру и перенос в следующий разряд.
- $4 \times 8 +$ (перенос из предыдущего разряда) должен дать `*6`. Так как $4 \times 8 = 32$, то $32 +$ (перенос) $= 36$. Значит, перенос был равен 4. Первая цифра `*` во втором частичном произведении равна 3.
- Теперь вернемся к $A \times 8 + 6$. Мы знаем, что это выражение должно дать число, которое при делении на 10 дает в остатке некоторую цифру и в частном 4 (перенос). То есть, $40 \le A \times 8 + 6 < 50$. Вычитая 6, получаем $34 \le A \times 8 < 44$. Единственная цифра $A$, удовлетворяющая этому условию, это $A=5$ ($8 \times 5 = 40$).
- Итак, первый множитель - 458. Второе частичное произведение: $458 \times 8 = 3664$. Это соответствует маске `*6**` (`3664`).

2. Анализ первого частичного произведения: Оно равно $458 \times *$, где `*` - это последняя цифра второго множителя (обозначим ее $B$). Результат должен соответствовать маске `***8`.
- $8 \times B$ должно оканчиваться на 8. Возможные варианты для $B$: $B=1$ ($8 \times 1 = 8$) или $B=6$ ($8 \times 6 = 48$).
- Если $B=1$, то $458 \times 1 = 458$. Это трехзначное число, а по маске `***8` ожидается четырехзначное (если не допускать ведущего нуля).
- Если $B=6$, то $458 \times 6 = 2748$. Это четырехзначное число, которое идеально подходит под маску `***8`.
- Следовательно, второй множитель - 86.

3. Сложение и проверка:

458
× 86
------
2748
+3664
------
39388

Ответ:

458
× 86
------
2748
+3664
------
39388

4)

Рассмотрим умножение в столбик.

5*6
× ***
-------
**30
+ *0*
-------
******

1. Обозначим множители как `5A6` и `BCD`.

2. Первое частичное произведение: $5A6 \times D = **30$.
- $6 \times D$ оканчивается на 0. Так как произведение не равно 0, $D$ не может быть 0. Следовательно, $D=5$.
- При умножении на 5, $6 \times 5 = 30$. В результате последняя цифра 0, перенос 3.
- Следующий разряд: $A \times 5 + 3$ (перенос) должно оканчиваться на 3. Это означает, что $A \times 5$ должно оканчиваться на 0. Это верно для любой четной цифры $A$ (0, 2, 4, 6, 8).

3. Второе частичное произведение: $5A6 \times C = *0*$. Это трехзначное число.
- Если $C \ge 2$, то $5A6 \times C$ будет как минимум $500 \times 2 = 1000$, что является четырехзначным числом. Следовательно, $C$ может быть только 1.
- При $C=1$, второе частичное произведение равно $5A6 \times 1 = 5A6$.
- Это число должно соответствовать маске `*0*`. Это означает, что средняя цифра в `5A6` равна 0. Таким образом, $A=0$.

4. Определение множителей: Итак, мы установили, что первый множитель - 506. Второй множитель - `B15`.
- Первое частичное произведение: $506 \times 5 = 2530$. Соответствует `**30`.
- Второе частичное произведение: $506 \times 1 = 506$. Соответствует `*0*`.

5. Третье частичное произведение и итоговая сумма: Итоговый результат - шестизначное число `******`. Сумма первых двух частичных произведений (с учетом сдвига): $2530 + 5060 = 7590$. Это четырехзначное число. Чтобы получить шестизначный результат, необходимо третье частичное произведение от цифры $B$.
Сумма всех произведений: $2530 + 506 \times 10 + 506 \times B \times 100 = 7590 + 50600 \times B$.
Это число должно быть шестизначным, т.е. не менее 100 000.
$7590 + 50600 \times B \ge 100000 \implies 50600 \times B \ge 92410 \implies B \ge \frac{92410}{50600} \approx 1.82$.
Поскольку $B$ - цифра, ее наименьшее возможное значение равно 2. Возьмем $B=2$.

6. Итоговый расчет: $506 \times 215$.

506
× 215
-------
2530
506
+1012
-------
108790

Ответ:

506
× 215
-------
2530
506
+1012
-------
108790