Номер 116, страница 28, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

К 116 Переведи условие задачи с русского языка на математический двумя различными способами.

1) Два прямоугольника имеют одинаковую площадь, равную $70 \text{ м}^2$. Известно, что у первого прямоугольника длина на 4 м больше, а ширина на 2 м меньше, чем у второго прямоугольника. Найти стороны этих прямоугольников.

2) Длина одного прямоугольника равна 32 см, а другого — 15 см. Ширина второго прямоугольника на 6 см больше ширины первого. Найти их площади, если известно, что площадь первого прямоугольника на $46 \text{ см}^2$ больше площади второго прямоугольника.

3) Тетради в клетку дороже тетрадей в линейку на 5 р. За 25 тетрадей в клетку надо заплатить на 50 р. больше, чем за 30 тетрадей в линейку. Какова цена тетрадей в клетку и тетрадей в линейку?

4) За 4 м шерстяной ткани надо заплатить на 20 р. больше, чем за 6 м шёлковой ткани. Сколько стоит 1 м шёлка, если он дешевле 1 м шерсти на 120 р.?

5) Токарь придумал новый способ обработки деталей и за 1 ч стал обтачивать на 2 детали больше, чем полагалось по плану. Поэтому дневную норму он выполнил не за 8 ч, а за 7 ч. Сколько деталей по норме должен обработать токарь за день, если на обработку каждой детали он тратит одинаковое время?

6) Если варенье, заготовленное на зиму, разложить в 2-литровые банки, то их потребуется на 9 больше, чем 3-литровых. Сколько литров варенья заготовлено?

7) Проехав с некоторой скоростью половину пути, автобус час стоял на месте из-за случившейся на трассе аварии. Чтобы на оставшихся до пункта назначения 200 км наверстать потерянное время, водитель автобуса повёл его со скоростью на $10 \text{ км/ч}$ большей, чем в начале пути. В конечный пункт автобус прибыл без опоздания. С какой скоростью проехал автобус первую половину пути?

8) Скорый поезд был задержан у семафора на $\frac{4}{15} \text{ ч}$ и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на $10 \text{ км/ч}$ большей, чем полагалось по расписанию. Чему равна скорость поезда по расписанию?

1)

Для решения задачи составим систему уравнений, используя переменные для обозначения сторон прямоугольников. Представим два способа составления уравнений.

Способ 1: Обозначим длину и ширину второго прямоугольника как $l_2$ и $w_2$.

По условию, его площадь $S_2 = l_2 \cdot w_2 = 70 \text{ м}^2$.

Длина первого прямоугольника $l_1 = l_2 + 4$ м, а ширина $w_1 = w_2 - 2$ м. Его площадь $S_1 = l_1 \cdot w_1 = (l_2 + 4)(w_2 - 2) = 70 \text{ м}^2$.

Раскроем скобки в уравнении для $S_1$: $l_2 w_2 - 2l_2 + 4w_2 - 8 = 70$.

Поскольку $l_2 w_2 = 70$, подставим это значение: $70 - 2l_2 + 4w_2 - 8 = 70$.

Упростим уравнение: $4w_2 - 2l_2 = 8$, откуда $l_2 = 2w_2 - 4$.

Теперь подставим это выражение для $l_2$ в уравнение площади второго прямоугольника: $(2w_2 - 4)w_2 = 70$.

Получаем квадратное уравнение: $2w_2^2 - 4w_2 - 70 = 0$, или $w_2^2 - 2w_2 - 35 = 0$.

Решая уравнение (например, по теореме Виета), находим корни: $w_2 = 7$ и $w_2 = -5$. Так как ширина не может быть отрицательной, $w_2 = 7$ м.

Тогда длина второго прямоугольника $l_2 = 70 / 7 = 10$ м.

Стороны первого прямоугольника: $l_1 = l_2 + 4 = 10 + 4 = 14$ м, $w_1 = w_2 - 2 = 7 - 2 = 5$ м.

Способ 2: Обозначим длину и ширину первого прямоугольника как $l_1$ и $w_1$.

Его площадь $S_1 = l_1 \cdot w_1 = 70 \text{ м}^2$.

Тогда стороны второго прямоугольника: $l_2 = l_1 - 4$ м, $w_2 = w_1 + 2$ м. Его площадь $S_2 = (l_1 - 4)(w_1 + 2) = 70 \text{ м}^2$.

Раскрываем скобки: $l_1 w_1 + 2l_1 - 4w_1 - 8 = 70$.

Подставляем $l_1 w_1 = 70$: $70 + 2l_1 - 4w_1 - 8 = 70$.

Упрощаем: $2l_1 - 4w_1 = 8$, или $l_1 = 2w_1 + 4$.

Подставляем в уравнение площади первого прямоугольника: $(2w_1 + 4)w_1 = 70$.

Получаем квадратное уравнение: $2w_1^2 + 4w_1 - 70 = 0$, или $w_1^2 + 2w_1 - 35 = 0$.

Корни уравнения: $w_1 = 5$ и $w_1 = -7$. Выбираем положительный корень: $w_1 = 5$ м.

Тогда длина $l_1 = 70 / 5 = 14$ м.

Стороны второго прямоугольника: $l_2 = 14 - 4 = 10$ м, $w_2 = 5 + 2 = 7$ м.

Ответ: стороны первого прямоугольника 14 м и 5 м, стороны второго прямоугольника 10 м и 7 м.

2)

Пусть $l_1=32$ см и $l_2=15$ см — длины первого и второго прямоугольников. Пусть $S_1$ и $S_2$ — их площади. По условию $S_1 = S_2 + 46$.

Способ 1: Обозначим ширину первого прямоугольника как $w_1 = x$ см.

Тогда ширина второго прямоугольника $w_2 = x + 6$ см.

Площадь первого прямоугольника: $S_1 = l_1 \cdot w_1 = 32x$.

Площадь второго прямоугольника: $S_2 = l_2 \cdot w_2 = 15(x+6)$.

Подставим выражения для площадей в заданное соотношение: $32x = 15(x+6) + 46$.

Решим уравнение: $32x = 15x + 90 + 46 \implies 17x = 136 \implies x = 8$.

Итак, ширина первого прямоугольника $w_1 = 8$ см. Ширина второго $w_2 = 8+6=14$ см.

Найдем площади: $S_1 = 32 \cdot 8 = 256 \text{ см}^2$, $S_2 = 15 \cdot 14 = 210 \text{ см}^2$.

Способ 2: Обозначим ширину второго прямоугольника как $w_2 = y$ см.

Тогда ширина первого прямоугольника $w_1 = y - 6$ см.

Площадь первого прямоугольника: $S_1 = l_1 \cdot w_1 = 32(y-6)$.

Площадь второго прямоугольника: $S_2 = l_2 \cdot w_2 = 15y$.

Подставим в соотношение: $32(y-6) = 15y + 46$.

Решим уравнение: $32y - 192 = 15y + 46 \implies 17y = 238 \implies y = 14$.

Ширина второго прямоугольника $w_2 = 14$ см. Ширина первого $w_1 = 14-6=8$ см.

Площади: $S_1 = 32 \cdot 8 = 256 \text{ см}^2$, $S_2 = 15 \cdot 14 = 210 \text{ см}^2$.

Ответ: площадь первого прямоугольника 256 см², площадь второго прямоугольника 210 см².

3)

Пусть $P_k$ — цена тетради в клетку, а $P_l$ — цена тетради в линейку. Из условия $P_k = P_l + 5$ и $25 \cdot P_k = 30 \cdot P_l + 50$.

Способ 1: Обозначим цену тетради в линейку как $x$ рублей.

Тогда цена тетради в клетку равна $x+5$ рублей.

Составим уравнение по второму условию: $25(x+5) = 30x + 50$.

Решим уравнение: $25x + 125 = 30x + 50 \implies 5x = 75 \implies x = 15$.

Цена тетради в линейку $P_l = 15$ рублей.

Цена тетради в клетку $P_k = 15 + 5 = 20$ рублей.

Способ 2: Обозначим цену тетради в клетку как $y$ рублей.

Тогда цена тетради в линейку равна $y-5$ рублей.

Составим уравнение: $25y = 30(y-5) + 50$.

Решим уравнение: $25y = 30y - 150 + 50 \implies 5y = 100 \implies y = 20$.

Цена тетради в клетку $P_k = 20$ рублей.

Цена тетради в линейку $P_l = 20 - 5 = 15$ рублей.

Ответ: цена тетради в клетку — 20 рублей, цена тетради в линейку — 15 рублей.

4)

Пусть $P_w$ — цена 1 м шерстяной ткани, $P_s$ — цена 1 м шёлковой ткани. По условию, $4P_w = 6P_s + 20$ и $P_s = P_w - 120$ (или $P_w = P_s + 120$).

Способ 1: Обозначим цену 1 м шёлка как $x$ рублей.

Тогда цена 1 м шерсти $x+120$ рублей.

Составим уравнение: $4(x+120) = 6x + 20$.

Решим его: $4x + 480 = 6x + 20 \implies 2x = 460 \implies x = 230$.

Цена 1 м шёлка $P_s = 230$ рублей.

Цена 1 м шерсти $P_w = 230 + 120 = 350$ рублей.

Способ 2: Обозначим цену 1 м шерсти как $y$ рублей.

Тогда цена 1 м шёлка $y-120$ рублей.

Составим уравнение: $4y = 6(y-120) + 20$.

Решим его: $4y = 6y - 720 + 20 \implies 2y = 700 \implies y = 350$.

Цена 1 м шерсти $P_w = 350$ рублей.

Цена 1 м шёлка $P_s = 350 - 120 = 230$ рублей.

Ответ: 1 м шёлка стоит 230 рублей, а 1 м шерсти — 350 рублей.

5)

Пусть $N$ — дневная норма (количество деталей), $v_{план}$ — плановая производительность (деталей/час), $v_{факт}$ — фактическая производительность. По плану работа занимает 8 ч, а по факту 7 ч. $v_{факт} = v_{план} + 2$. Норма $N = 8v_{план} = 7v_{факт}$.

Способ 1: Обозначим плановую производительность как $x$ деталей/час.

Тогда фактическая производительность — $x+2$ деталей/час.

Приравняем количество деталей: $8x = 7(x+2)$.

Решим уравнение: $8x = 7x + 14 \implies x = 14$.

Плановая производительность — 14 деталей/час. Дневная норма: $N = 8 \cdot 14 = 112$ деталей.

Способ 2: Обозначим фактическую производительность как $y$ деталей/час.

Тогда плановая производительность — $y-2$ деталей/час.

Приравняем количество деталей: $8(y-2) = 7y$.

Решим уравнение: $8y - 16 = 7y \implies y = 16$.

Фактическая производительность — 16 деталей/час. Дневная норма: $N = 7 \cdot 16 = 112$ деталей.

Ответ: по норме токарь должен обработать за день 112 деталей.

6)

Пусть $V$ — общий объем варенья, $n_2$ — количество 2-литровых банок, $n_3$ — количество 3-литровых банок. По условию $n_2 = n_3 + 9$. Объем варенья $V = 2n_2 = 3n_3$.

Способ 1: Обозначим количество 3-литровых банок как $x$.

Тогда количество 2-литровых банок — $x+9$.

Приравняем объемы варенья: $3x = 2(x+9)$.

Решим уравнение: $3x = 2x + 18 \implies x = 18$.

Количество 3-литровых банок — 18. Общий объем варенья: $V = 3 \cdot 18 = 54$ литра.

Способ 2: Обозначим количество 2-литровых банок как $y$.

Тогда количество 3-литровых банок — $y-9$.

Приравняем объемы: $2y = 3(y-9)$.

Решим уравнение: $2y = 3y - 27 \implies y = 27$.

Количество 2-литровых банок — 27. Общий объем варенья: $V = 2 \cdot 27 = 54$ литра.

Ответ: заготовлено 54 литра варенья.

7)

Половина пути составляет 200 км. Автобус стоял 1 час. Чтобы наверстать время, на второй половине пути скорость была увеличена на 10 км/ч. Время, сэкономленное за счет увеличения скорости на втором участке, должно быть равно времени простоя.

Пусть $v_1$ — начальная скорость, $v_2 = v_1 + 10$ — скорость на втором участке.

Время в пути на втором участке по плану: $t_{план} = 200/v_1$.

Время в пути на втором участке по факту: $t_{факт} = 200/v_2 = 200/(v_1+10)$.

Связь времен: $t_{план} = t_{факт} + t_{простоя} \implies \frac{200}{v_1} = \frac{200}{v_1+10} + 1$.

Способ 1: Обозначим начальную скорость как $x$ км/ч.

Получаем уравнение: $\frac{200}{x} - \frac{200}{x+10} = 1$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{200(x+10) - 200x}{x(x+10)} = 1 \implies \frac{2000}{x^2+10x} = 1$.

Получаем квадратное уравнение: $x^2 + 10x - 2000 = 0$.

Решаем через дискриминант: $D = 10^2 - 4(1)(-2000) = 100 + 8000 = 8100 = 90^2$.

Корни: $x = \frac{-10 \pm 90}{2}$. Положительный корень $x = \frac{80}{2} = 40$.

Начальная скорость 40 км/ч.

Способ 2: Обозначим скорость на втором участке как $y$ км/ч.

Тогда начальная скорость $y-10$ км/ч. Уравнение: $\frac{200}{y-10} = \frac{200}{y} + 1$.

$\frac{200}{y-10} - \frac{200}{y} = 1 \implies \frac{200y - 200(y-10)}{y(y-10)} = 1 \implies \frac{2000}{y^2-10y}=1$.

Квадратное уравнение: $y^2 - 10y - 2000 = 0$.

Решаем: $D = (-10)^2 - 4(1)(-2000) = 100+8000=8100=90^2$.

Корни: $y=\frac{10 \pm 90}{2}$. Положительный корень $y = \frac{100}{2} = 50$.

Скорость на втором участке 50 км/ч, значит начальная скорость $50-10=40$ км/ч.

Ответ: первую половину пути автобус проехал со скоростью 40 км/ч.

8)

Поезд был задержан на $\frac{4}{15}$ часа. Опоздание было наверстано на перегоне 80 км за счет увеличения скорости на 10 км/ч. Это означает, что разница во времени прохождения 80 км с плановой и увеличенной скоростью равна времени задержки.

Пусть $v_{расп}$ — скорость по расписанию, $v_{факт} = v_{расп} + 10$ — фактическая скорость.

Время по расписанию: $t_{расп} = 80/v_{расп}$. Фактическое время: $t_{факт} = 80/(v_{расп}+10)$.

Уравнение: $t_{расп} - t_{факт} = \frac{4}{15} \implies \frac{80}{v_{расп}} - \frac{80}{v_{расп}+10} = \frac{4}{15}$.

Способ 1: Обозначим скорость по расписанию как $x$ км/ч.

Уравнение: $\frac{80}{x} - \frac{80}{x+10} = \frac{4}{15}$. Разделим обе части на 4: $\frac{20}{x} - \frac{20}{x+10} = \frac{1}{15}$.

$\frac{20(x+10) - 20x}{x(x+10)} = \frac{1}{15} \implies \frac{200}{x^2+10x} = \frac{1}{15}$.

Квадратное уравнение: $x^2 + 10x = 3000 \implies x^2 + 10x - 3000 = 0$.

$D = 10^2 - 4(1)(-3000) = 100 + 12000 = 12100 = 110^2$.

Корни: $x = \frac{-10 \pm 110}{2}$. Положительный корень $x = \frac{100}{2} = 50$.

Скорость по расписанию 50 км/ч.

Способ 2: Обозначим фактическую скорость как $y$ км/ч.

Тогда скорость по расписанию $y-10$ км/ч. Уравнение: $\frac{80}{y-10} - \frac{80}{y} = \frac{4}{15}$.

Разделим на 4: $\frac{20}{y-10} - \frac{20}{y} = \frac{1}{15}$.

$\frac{20y - 20(y-10)}{y(y-10)} = \frac{1}{15} \implies \frac{200}{y^2-10y} = \frac{1}{15}$.

Квадратное уравнение: $y^2 - 10y - 3000 = 0$.

$D = (-10)^2 - 4(1)(-3000) = 100 + 12000 = 12100 = 110^2$.

Корни: $y = \frac{10 \pm 110}{2}$. Положительный корень $y = \frac{120}{2} = 60$.

Фактическая скорость 60 км/ч, значит скорость по расписанию $60-10=50$ км/ч.

Ответ: скорость поезда по расписанию равна 50 км/ч.