Номер 111, страница 26, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

Построй математическую модель задачи.

1) Одну из сторон квадрата увеличили на 4 дм, а другую уменьшили на 6 дм. В результате получили прямоугольник площадью 56 $дм^2$. Найти длину стороны квадрата.

2) Велосипедист предполагал проехать дистанцию в 120 км с некоторой скоростью. Но он ехал со скоростью на $6 км/ч$ меньшей и поэтому прибыл в пункт назначения на 1 ч позже, чем предполагал. С какой скоростью ехал велосипедист?

3) Гале 8 лет, а её маме 34 года. Через сколько лет Галя будет в 2 раза младше мамы?

4) У Толи было 50 тетрадей в клетку и 40 тетрадей в линейку. В месяц он расходовал по 6 тетрадей в клетку и по 4 в линейку. Через сколько месяцев количество тетрадей обоих видов стало одинаковым?

1)

Пусть $x$ дм — длина стороны исходного квадрата. После изменений одна сторона стала равна $(x + 4)$ дм, а другая — $(x - 6)$ дм. Так как стороны должны иметь положительную длину, то $x - 6 > 0$, следовательно, $x > 6$.
Площадь полученного прямоугольника равна произведению его сторон. Составим уравнение, которое является математической моделью задачи:
$(x + 4)(x - 6) = 56$
Раскроем скобки и решим уравнение:
$x^2 - 6x + 4x - 24 = 56$
$x^2 - 2x - 24 - 56 = 0$
$x^2 - 2x - 80 = 0$
Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 18}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 18}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет условию $x > 6$.
Следовательно, длина стороны квадрата равна 10 дм.
Ответ: 10 дм.

2)

Пусть $v$ км/ч — предполагаемая скорость велосипедиста. Тогда его фактическая скорость была $(v - 6)$ км/ч. Расстояние равно 120 км.
Планируемое время в пути: $t_1 = \frac{120}{v}$ ч.
Фактическое время в пути: $t_2 = \frac{120}{v - 6}$ ч.
По условию, велосипедист прибыл на 1 час позже, значит, $t_2 - t_1 = 1$.
Составим уравнение:
$\frac{120}{v - 6} - \frac{120}{v} = 1$
Приведем левую часть к общему знаменателю $v(v - 6)$ (при $v \neq 0$ и $v \neq 6$):
$\frac{120v - 120(v - 6)}{v(v - 6)} = 1$
$\frac{120v - 120v + 720}{v^2 - 6v} = 1$
$\frac{720}{v^2 - 6v} = 1$
$v^2 - 6v = 720$
$v^2 - 6v - 720 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-720) = 36 + 2880 = 2916$
$v_1 = \frac{6 + \sqrt{2916}}{2} = \frac{6 + 54}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$v_2 = \frac{6 - \sqrt{2916}}{2} = \frac{6 - 54}{2} = \frac{-48}{2} = -24$
Скорость не может быть отрицательной, поэтому предполагаемая скорость $v = 30$ км/ч.

Вопрос задачи — найти фактическую скорость, с которой ехал велосипедист. Она равна $v - 6$.
$30 - 6 = 24$ (км/ч).
Ответ: 24 км/ч.

3)

Пусть $x$ — количество лет, через которое Галя будет в 2 раза младше мамы.

Через $x$ лет Гале будет $(8 + x)$ лет, а её маме — $(34 + x)$ лет.
По условию, возраст мамы будет в два раза больше возраста Гали. Составим уравнение:
$34 + x = 2 \cdot (8 + x)$
$34 + x = 16 + 2x$
$2x - x = 34 - 16$
$x = 18$
Через 18 лет Гале будет $8 + 18 = 26$ лет, а маме $34 + 18 = 52$ года. $52 = 2 \cdot 26$. Условие выполняется.
Ответ: через 18 лет.

4)

Пусть $x$ — количество месяцев, через которое количество тетрадей обоих видов станет одинаковым.
За $x$ месяцев Толя израсходует $6x$ тетрадей в клетку и $4x$ тетрадей в линейку.
Количество оставшихся тетрадей в клетку: $50 - 6x$.
Количество оставшихся тетрадей в линейку: $40 - 4x$.
Приравняем количество тетрадей, чтобы найти $x$:
$50 - 6x = 40 - 4x$
$50 - 40 = 6x - 4x$
$10 = 2x$
$x = \frac{10}{2}$
$x = 5$
Через 5 месяцев у Толи останется $50 - 6 \cdot 5 = 20$ тетрадей в клетку и $40 - 4 \cdot 5 = 20$ тетрадей в линейку.
Ответ: через 5 месяцев.