Номер 105, страница 25, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

105 Не вычисляя, сравни произведения и запиши ответ с помощью знаков $>$ или $<$:

1) $29 \cdot 17$ и $35 \cdot 17$;

2) $62 \cdot 36$ и $18 \cdot 62$;

3) $46 \cdot 85$ и $34 \cdot 76$;

4) $23 \cdot 51$ и $97 \cdot 40$;

5) $14 \cdot 56$ и $16 \cdot 84$;

6) $73 \cdot 48$ и $41 \cdot 70$.

1) Сравним произведения $29 \cdot 17$ и $35 \cdot 17$. В обоих произведениях есть общий множитель 17. Если один из множителей одинаковый, то произведение будет больше там, где другой множитель больше. Сравниваем первые множители: $29 < 35$. Следовательно, первое произведение меньше второго.

Ответ: $29 \cdot 17 < 35 \cdot 17$.

2) Сравним произведения $62 \cdot 36$ и $18 \cdot 62$. Используя переместительное свойство умножения ($a \cdot b = b \cdot a$), второе произведение можно записать как $62 \cdot 18$. Теперь мы сравниваем $62 \cdot 36$ и $62 \cdot 18$. Общий множитель — 62. Сравниваем вторые множители: $36 > 18$. Значит, первое произведение больше второго.

Ответ: $62 \cdot 36 > 18 \cdot 62$.

3) Сравним произведения $46 \cdot 85$ и $34 \cdot 76$. В этом случае оба множителя первого произведения больше соответствующих множителей второго. Сравниваем первые множители: $46 > 34$. Сравниваем вторые множители: $85 > 76$. Если перемножить большие числа, то и результат будет больше. Следовательно, первое произведение больше второго.

Ответ: $46 \cdot 85 > 34 \cdot 76$.

4) Сравним произведения $23 \cdot 51$ и $97 \cdot 40$. Здесь один множитель в первом произведении меньше ($23 < 97$), а другой больше ($51 > 40$). Оценим произведения: $23 \cdot 51$ немного больше, чем $23 \cdot 50 = 1150$. Второе произведение, $97 \cdot 40$, близко к $100 \cdot 40 = 4000$. Очевидно, что второе произведение значительно больше. Чтобы доказать это строже, представим множители по-другому. Например, $23 \cdot 51 < 25 \cdot 60 = 1500$, в то время как $97 \cdot 40 > 90 \cdot 40 = 3600$. Таким образом, первое произведение меньше второго.

Ответ: $23 \cdot 51 < 97 \cdot 40$.

5) Сравним произведения $14 \cdot 56$ и $16 \cdot 84$. Оба множителя первого произведения меньше соответствующих множителей второго. Сравниваем первые множители: $14 < 16$. Сравниваем вторые множители: $56 < 84$. Так как мы перемножаем меньшие числа, результат будет меньше. Следовательно, первое произведение меньше второго.

Ответ: $14 \cdot 56 < 16 \cdot 84$.

6) Сравним произведения $73 \cdot 48$ и $41 \cdot 70$. Здесь, как и в пункте 4, один множитель больше ($73 > 41$), а другой меньше ($48 < 70$). Проведем оценку: $73 \cdot 48$ примерно равно $70 \cdot 50 = 3500$. Второе произведение, $41 \cdot 70$, примерно равно $40 \cdot 70 = 2800$. Первое произведение кажется больше. Докажем это. Представим $73 \cdot 48$ как $(70 + 3) \cdot 48 = 70 \cdot 48 + 3 \cdot 48 = 70 \cdot 48 + 144$. Теперь сравним $70 \cdot 48 + 144$ и $41 \cdot 70$. Мы видим, что $70 \cdot 48 > 41 \cdot 70$, потому что $48$ ненамного больше $41$, но множитель $70$ велик. Более точно: $70 \cdot 48 = 70 \cdot (41+7) = 70 \cdot 41 + 70 \cdot 7 = 70 \cdot 41 + 490$. Значит, мы сравниваем $70 \cdot 41 + 490 + 144$ и $70 \cdot 41$. Первое выражение очевидно больше.

Ответ: $73 \cdot 48 > 41 \cdot 70$.