Номер 99, страница 24, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

99 Составь схему к задаче и построй её математическую модель.

В трёх отделениях концерта выступило 20 участников. Во втором отделении выступило в 3 раза меньше участников, чем в первом, а в третьем отделении – на 5 участников больше, чем во втором. Сколько участников концерта выступило в каждом отделении?

Схема и математическая модель задачи

Для анализа условия и составления схемы примем количество участников во втором отделении за одну условную часть, так как количество участников в других отделениях сравнивается с ним.

• II отделение: 1 часть.

• I отделение: в 3 раза больше, чем во втором, то есть 3 части.

• III отделение: на 5 человек больше, чем во втором, то есть 1 часть + 5 человек.

Сумма всех частей и добавочных участников равна общему числу участников — 20.

Для построения математической модели введем переменную. Пусть $x$ — это количество участников, выступивших во втором отделении. Исходя из этого:

• Количество участников в первом отделении: $3x$.

• Количество участников во втором отделении: $x$.

• Количество участников в третьем отделении: $x + 5$.

Так как общее число участников равно 20, мы можем сложить количество участников из всех трёх отделений и приравнять к 20. Это и будет математической моделью задачи.

Ответ: математическая модель задачи — это уравнение $3x + x + (x + 5) = 20$, где $x$ — количество участников во втором отделении.

Решение задачи и нахождение количества участников

Чтобы найти, сколько участников выступило в каждом отделении, решим составленное уравнение:
$3x + x + (x + 5) = 20$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$5x + 5 = 20$
Перенесём 5 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$5x = 20 - 5$
$5x = 15$
Теперь найдём $x$, разделив обе части уравнения на 5:
$x = \frac{15}{5}$
$x = 3$

Итак, мы определили, что во втором отделении выступило 3 участника. Теперь можем найти количество участников в первом и третьем отделениях:

• I отделение: $3x = 3 \cdot 3 = 9$ участников.

• II отделение: $x = 3$ участника.

• III отделение: $x + 5 = 3 + 5 = 8$ участников.

Для проверки сложим количество участников: $9 + 3 + 8 = 20$. Расчеты верны.

Ответ: в первом отделении выступило 9 участников, во втором — 3 участника, а в третьем — 8 участников.