Номер 101, страница 24, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

C 101* Какой цифрой оканчивается произведение 21 множителя, каждый из которых равен $n$, если $n = 5, 6, 4, 2, 3$? А если множителей 1221?

Залана 3

Чтобы найти, какой цифрой оканчивается произведение, необходимо найти последнюю цифру результата возведения числа $n$ в степень, равную количеству множителей. Для этого мы проанализируем, как циклически меняется последняя цифра в степенях числа $n$.

n = 5

Рассмотрим последние цифры степеней числа 5: $5^1 = 5$, $5^2 = 25$, $5^3 = 125$. Любая натуральная степень числа 5 оканчивается на цифру 5. Следовательно, произведение 21 множителя ($5^{21}$) и произведение 1221 множителя ($5^{1221}$) будут оканчиваться на 5.
Ответ: 5.

n = 6

Рассмотрим последние цифры степеней числа 6: $6^1 = 6$, $6^2 = 36$, $6^3 = 216$. Любая натуральная степень числа 6 оканчивается на цифру 6. Таким образом, как для 21 множителя ($6^{21}$), так и для 1221 множителя ($6^{1221}$) произведение будет оканчиваться на 6.
Ответ: 6.

n = 4

Рассмотрим последние цифры степеней числа 4: $4^1 = 4$, $4^2 = 16$, $4^3 = 64$. Последняя цифра циклически повторяется с периодом 2: (4, 6). Если показатель степени нечетный, то последняя цифра — 4, если четный — 6. Оба показателя, 21 и 1221, являются нечетными числами. Следовательно, и $4^{21}$, и $4^{1221}$ оканчиваются на 4.
Ответ: 4.

n = 2

Рассмотрим последние цифры степеней числа 2: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$. Последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6). Чтобы найти последнюю цифру для степени $k$, нужно найти остаток от деления $k$ на 4.
Для 21 множителя: $21 = 4 \times 5 + 1$. Остаток равен 1. Последняя цифра будет первой в цикле, то есть 2.
Для 1221 множителя: $1221 = 4 \times 305 + 1$. Остаток также равен 1. Последняя цифра будет первой в цикле, то есть 2.
Ответ: 2.

n = 3

Рассмотрим последние цифры степеней числа 3: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$. Последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы найти последнюю цифру для степени $k$, нужно найти остаток от деления $k$ на 4.
Для 21 множителя: $21 = 4 \times 5 + 1$. Остаток равен 1. Последняя цифра будет первой в цикле, то есть 3.
Для 1221 множителя: $1221 = 4 \times 305 + 1$. Остаток также равен 1. Последняя цифра будет первой в цикле, то есть 3.
Ответ: 3.