Номер 102, страница 24, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

K 102 Переведи условие задачи на математический язык.

1) Площадь прямоугольника равна $240 \text{ дм}^2$, а ширина на $8 \text{ дм}$ меньше длины. Найти длину и ширину этого прямоугольника.

2) Одну из сторон квадрата увеличили на $9 \text{ см}$, а другую уменьшили в $5$ раз. В результате получили прямоугольник, периметр которого равен $66 \text{ см}$. Найти длину стороны квадрата.

3) Длина прямоугольного участка земли в $4$ раза больше ширины. Если длину этого участка увеличить на $2 \text{ м}$, а ширину уменьшить на $5 \text{ м}$, то его площадь уменьшится на $190 \text{ м}^2$. Каковы размеры данного участка?

4) Одна из сторон прямоугольника на $10 \text{ см}$ меньше другой. Если меньшую сторону увеличить на $15 \text{ см}$, а большую увеличить на $20 \text{ см}$, то площадь прямоугольника увеличится в $5$ раз. Чему равна ширина данного прямоугольника?

1) Обозначим длину прямоугольника как $L$ дм, а ширину как $W$ дм. Согласно условию, площадь $S = L \cdot W = 240$ дм², а ширина на 8 дм меньше длины, то есть $W = L - 8$.
Подставим выражение для ширины в формулу площади:

$L \cdot (L - 8) = 240$
$L^2 - 8L - 240 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 64 + 960 = 1024$
$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$
Найдем корни уравнения:
$L_1 = \frac{-(-8) + 32}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 32}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$L_2 = \frac{-(-8) - 32}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 32}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
Так как длина не может быть отрицательной, $L = 20$ дм.
Теперь найдем ширину: $W = L - 8 = 20 - 8 = 12$ дм.
Ответ: длина прямоугольника 20 дм, ширина 12 дм.

2) Пусть сторона квадрата равна $a$ см. После изменений получился прямоугольник со сторонами $a_1 = a + 9$ см и $a_2 = \frac{a}{5}$ см. Периметр этого прямоугольника равен $P = 2(a_1 + a_2)$. По условию, $P = 66$ см.
Составим уравнение:
$2 \cdot ((a + 9) + \frac{a}{5}) = 66$
$(a + 9) + \frac{a}{5} = 33$
$a + \frac{a}{5} = 33 - 9$
$\frac{5a}{5} + \frac{a}{5} = 24$
$\frac{6a}{5} = 24$
$6a = 24 \cdot 5$
$6a = 120$
$a = \frac{120}{6} = 20$
Ответ: длина стороны квадрата 20 см.

3) Пусть ширина прямоугольного участка равна $x$ м. Тогда его длина равна $4x$ м. Первоначальная площадь участка $S_1 = x \cdot 4x = 4x^2$ м².
После изменений длина стала $4x + 2$ м, а ширина стала $x - 5$ м. Новая площадь участка $S_2 = (4x + 2)(x - 5)$ м².
По условию, новая площадь на 190 м² меньше первоначальной: $S_2 = S_1 - 190$.
Составим уравнение:
$(4x + 2)(x - 5) = 4x^2 - 190$
$4x^2 - 20x + 2x - 10 = 4x^2 - 190$
$4x^2 - 18x - 10 = 4x^2 - 190$
$-18x - 10 = -190$
$-18x = -190 + 10$
$-18x = -180$
$x = 10$
Ширина участка равна 10 м. Длина участка равна $4 \cdot 10 = 40$ м.
Ответ: ширина участка 10 м, длина 40 м.

4) Пусть ширина прямоугольника (меньшая сторона) равна $x$ см. Тогда длина (большая сторона) равна $x + 10$ см. Первоначальная площадь $S_1 = x(x + 10)$ см².
После изменений меньшая сторона стала $x + 15$ см, а большая — $(x + 10) + 20 = x + 30$ см. Новая площадь $S_2 = (x + 15)(x + 30)$ см².
По условию, новая площадь в 5 раз больше первоначальной: $S_2 = 5 \cdot S_1$.
Составим уравнение:
$(x + 15)(x + 30) = 5 \cdot x(x + 10)$
$x^2 + 30x + 15x + 450 = 5x^2 + 50x$
$x^2 + 45x + 450 = 5x^2 + 50x$
$4x^2 + 5x - 450 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-450) = 25 + 7200 = 7225$
$\sqrt{D} = \sqrt{7225} = 85$
$x_1 = \frac{-5 + 85}{2 \cdot 4} = \frac{80}{8} = 10$
$x_2 = \frac{-5 - 85}{2 \cdot 4} = \frac{-90}{8} = -11.25$
Так как ширина не может быть отрицательной, $x = 10$ см.
Ответ: ширина данного прямоугольника 10 см.