Номер 103, страница 25, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

103 Построй математическую модель задачи, обозначая одну из неизвестных величин буквой х.

1) Турист предполагал пройти маршрут длиной 60 км с некоторой скоростью. Однако из-за погодных условий его скорость на маршруте оказалась на 1 км/ч меньше, и турист прибыл в конечный пункт на 2 ч позже, чем рассчитывал. С какой скоростью прошёл турист свой маршрут?

2) Увеличив скорость прохождения дистанции с 250 м/мин до 300 м/мин, спортсмен стал пробегать дистанцию на 1 мин быстрее. Чему равна длина дистанции?

3) Машинистке надо перепечатать рукопись. Она рассчитала, что, печатая в час 8 страниц, она закончит работу на 4 ч раньше, чем если будет печатать в час по 6 страниц. Сколько страниц в рукописи?

4) Спортсменов сначала построили в ряды по 6 человек, а затем переставили в ряды по 4 человека. При этом число рядов увеличилось на 2. Сколько было спортсменов?

5) Отцу 29 лет, а дочери 5 лет. Через сколько лет отец будет втрое старше дочери?

6) Бабушке 61 год, а внуку 17 лет. Сколько лет назад бабушка была старше внука в 5 раз?

7) На одном складе было 120 т угля, а на другом 96 т. С первого склада ежедневно вывозили по 6 т угля, а со второго по 3 т. Через сколько дней на обоих складах угля оказалось поровну?

8) В одном баке 46 л машинного масла, а в другом 72 л. Из первого бака ежедневно берут по 3 л масла, а из второго по 1 л. Через сколько дней во втором баке останется в 6 раз больше масла, чем в первом?

1)

Обозначим за $x$ (км/ч) фактическую скорость туриста. Тогда его планируемая скорость была $x + 1$ (км/ч), так как фактическая скорость оказалась на 1 км/ч меньше.

Расстояние маршрута равно 60 км.

Время, которое турист планировал потратить на маршрут: $t_{план} = \frac{60}{x+1}$ ч.

Фактическое время, которое турист потратил на маршрут: $t_{факт} = \frac{60}{x}$ ч.

По условию, турист прибыл на 2 часа позже, чем рассчитывал. Это значит, что фактическое время больше планового на 2 часа. Составим математическую модель (уравнение):

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x+1} = 2$

Решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{60(x+1) - 60x}{x(x+1)} = 2$

$\frac{60x + 60 - 60x}{x^2 + x} = 2$

$\frac{60}{x^2 + x} = 2$

$2(x^2 + x) = 60$

$x^2 + x = 30$

$x^2 + x - 30 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета. Корни $x_1$ и $x_2$ должны удовлетворять условиям: $x_1 \cdot x_2 = -30$ и $x_1 + x_2 = -1$. Подходят числа 5 и -6.

$x_1 = 5$, $x_2 = -6$.

Так как скорость не может быть отрицательной, единственным решением, имеющим физический смысл, является $x = 5$.

Ответ: Турист прошёл маршрут со скоростью 5 км/ч.

2)

Обозначим за $x$ (м) длину дистанции.

Первоначальная скорость спортсмена была 250 м/мин, а новая скорость — 300 м/мин.

Время прохождения дистанции с первоначальной скоростью: $t_1 = \frac{x}{250}$ мин.

Время прохождения дистанции с новой скоростью: $t_2 = \frac{x}{300}$ мин.

По условию, с новой, большей скоростью, спортсмен пробежал дистанцию на 1 минуту быстрее. Это значит, что разница между старым и новым временем составляет 1 минуту. Составим уравнение:

$\frac{x}{250} - \frac{x}{300} = 1$

Решим это уравнение. Найдем общий знаменатель для 250 и 300, который равен 1500.

$\frac{6x}{1500} - \frac{5x}{1500} = 1$

$\frac{6x-5x}{1500} = 1$

$\frac{x}{1500} = 1$

$x = 1500$

Ответ: Длина дистанции равна 1500 м.

3)

Обозначим за $x$ общее количество страниц в рукописи.

Если машинистка будет печатать по 8 страниц в час, она затратит на работу $\frac{x}{8}$ часов.

Если она будет печатать по 6 страниц в час, она затратит на работу $\frac{x}{6}$ часов.

По условию, печатая быстрее (по 8 стр/час), она закончит на 4 часа раньше. Это значит, что время работы при скорости 6 стр/час на 4 часа больше, чем при скорости 8 стр/час. Составим уравнение:

$\frac{x}{6} - \frac{x}{8} = 4$

Решим это уравнение. Общий знаменатель для 6 и 8 — это 24.

$\frac{4x}{24} - \frac{3x}{24} = 4$

$\frac{x}{24} = 4$

$x = 4 \cdot 24$

$x = 96$

Ответ: В рукописи 96 страниц.

4)

Обозначим за $x$ общее количество спортсменов.

Когда спортсменов построили в ряды по 6 человек, количество рядов составило $\frac{x}{6}$.

Когда их переставили в ряды по 4 человека, количество рядов стало $\frac{x}{4}$.

По условию, число рядов увеличилось на 2. Это значит, что количество рядов по 4 человека на 2 больше, чем количество рядов по 6 человек. Составим уравнение:

$\frac{x}{4} - \frac{x}{6} = 2$

Решим это уравнение. Общий знаменатель для 4 и 6 — это 12.

$\frac{3x}{12} - \frac{2x}{12} = 2$

$\frac{x}{12} = 2$

$x = 2 \cdot 12$

$x = 24$

Ответ: Было 24 спортсмена.

5)

Обозначим за $x$ количество лет, через которое отец будет втрое старше дочери.

Текущий возраст отца — 29 лет, дочери — 5 лет.

Через $x$ лет возраст отца будет $29 + x$ лет.

Через $x$ лет возраст дочери будет $5 + x$ лет.

По условию, через $x$ лет возраст отца будет в 3 раза больше возраста дочери. Составим уравнение:

$29 + x = 3 \cdot (5 + x)$

Решим это уравнение:

$29 + x = 15 + 3x$

$29 - 15 = 3x - x$

$14 = 2x$

$x = \frac{14}{2}$

$x = 7$

Ответ: Через 7 лет отец будет втрое старше дочери.

6)

Обозначим за $x$ количество лет назад, когда бабушка была старше внука в 5 раз.

Текущий возраст бабушки — 61 год, внука — 17 лет.

$x$ лет назад возраст бабушки был $61 - x$ лет.

$x$ лет назад возраст внука был $17 - x$ лет.

По условию, $x$ лет назад бабушка была в 5 раз старше внука. Составим уравнение:

$61 - x = 5 \cdot (17 - x)$

Решим это уравнение:

$61 - x = 85 - 5x$

$5x - x = 85 - 61$

$4x = 24$

$x = \frac{24}{4}$

$x = 6$

Ответ: 6 лет назад бабушка была старше внука в 5 раз.

7)

Обозначим за $x$ количество дней, через которое на обоих складах угля окажется поровну.

На первом складе было 120 т угля, и с него вывозили по 6 т в день. Через $x$ дней на нем останется $120 - 6x$ тонн угля.

На втором складе было 96 т угля, и с него вывозили по 3 т в день. Через $x$ дней на нем останется $96 - 3x$ тонн угля.

По условию, через $x$ дней количество угля на складах станет равным. Составим уравнение:

$120 - 6x = 96 - 3x$

Решим это уравнение:

$120 - 96 = 6x - 3x$

$24 = 3x$

$x = \frac{24}{3}$

$x = 8$

Ответ: Через 8 дней на обоих складах угля окажется поровну.

8)

Обозначим за $x$ количество дней, через которое во втором баке останется в 6 раз больше масла, чем в первом.

В первом баке было 46 л масла, и из него берут по 3 л в день. Через $x$ дней в нем останется $46 - 3x$ литров масла.

Во втором баке было 72 л масла, и из него берут по 1 л в день. Через $x$ дней в нем останется $72 - x$ литров масла.

По условию, через $x$ дней количество масла во втором баке будет в 6 раз больше, чем в первом. Составим уравнение:

$72 - x = 6 \cdot (46 - 3x)$

Решим это уравнение:

$72 - x = 6 \cdot 46 - 6 \cdot 3x$

$72 - x = 276 - 18x$

$18x - x = 276 - 72$

$17x = 204$

$x = \frac{204}{17}$

$x = 12$

Ответ: Через 12 дней во втором баке останется в 6 раз больше масла, чем в первом.