Номер 124, страница 30, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

D 124

Составь таблицу и переведи условие задачи с русского языка на мате-матический.

В зрительном зале 1200 стульев, расположенных рядами с одинаковым числом стульев в каждом ряду. Если в каждом ряду добавить по 5 стульев, то число рядов уменьшится на 8. Сколько было рядов и сколько стульев в каждом ряду?

Составь таблицу и переведи условие задачи с русского языка на математический.

Для перевода условия задачи на математический язык введем переменные. Пусть $x$ — первоначальное число рядов в зале, а $y$ — первоначальное число стульев в каждом ряду. Систематизируем все данные из условия задачи в виде таблицы.

На основе данных из таблицы можно составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Эта система является математической моделью задачи.

Ответ: Условие задачи на математическом языке выражается системой уравнений:

$ \begin{cases} x \cdot y = 1200 \\ (x-8) \cdot (y+5) = 1200 \end{cases} $

Сколько было рядов и сколько стульев в каждом ряду?

Для нахождения $x$ и $y$ решим полученную систему уравнений.

Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$: $x = \frac{1200}{y}$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(\frac{1200}{y} - 8)(y+5) = 1200$.

Решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки:

$\frac{1200}{y} \cdot y + \frac{1200}{y} \cdot 5 - 8 \cdot y - 8 \cdot 5 = 1200$

$1200 + \frac{6000}{y} - 8y - 40 = 1200$

Сократим 1200 в обеих частях уравнения и приведем подобные слагаемые:

$\frac{6000}{y} - 8y - 40 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $y$ (мы можем это сделать, так как число стульев в ряду $y$ не может быть равно нулю):

$6000 - 8y^2 - 40y = 0$

Разделим все члены уравнения на -8 для упрощения и запишем его в стандартном виде квадратного уравнения $ay^2+by+c=0$:

$y^2 + 5y - 750 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750) = 25 + 3000 = 3025$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55$.

Теперь найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 55}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 55}{2 \cdot 1} = \frac{-60}{2} = -30$

Поскольку $y$ — это число стульев в ряду, это значение должно быть положительным. Следовательно, корень $y_2 = -30$ не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, первоначальное число стульев в ряду равно 25.

Теперь найдем первоначальное число рядов $x$, используя ранее выведенную формулу $x = \frac{1200}{y}$:

$x = \frac{1200}{25} = 48$

Проверим полученный результат.

Изначально: $48 \text{ рядов} \times 25 \text{ стульев/ряд} = 1200 \text{ стульев}$.

После изменений: число рядов стало $48 - 8 = 40$, а число стульев в ряду $25 + 5 = 30$.

$40 \text{ рядов} \times 30 \text{ стульев/ряд} = 1200 \text{ стульев}$.

Результаты сходятся, следовательно, задача решена верно.

Ответ: Изначально в зрительном зале было 48 рядов и 25 стульев в каждом ряду.