Номер 129, страница 32, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

129 Обозначая цифру десятков двузначного числа буквой $x$, а цифру единиц – буквой $y$, запиши на математическом языке условие задачи.

1) Найти двузначное число, которое в два раза больше суммы своих цифр. $10x + y = 2(x+y)$

2) Найти двузначное число, которое на 26 больше произведения своих цифр. $10x + y = xy + 26$

3) Если цифры задуманного двузначного числа поменять местами, то получится число, на 18 большее, чем исходное. Какое число задумано? $10y + x = 10x + y + 18$

4) Если цифры задуманного двузначного числа поменять местами, то получится число, на 27 меньшее, чем исходное. Какое число задумано? $10y + x = 10x + y - 27$

Обозначим двузначное число, у которого x — цифра десятков, а y — цифра единиц, как $10x + y$. Согласно определению двузначного числа, x является целым числом от 1 до 9 ($x \in \{1, 2, ..., 9\}$), а y — целым числом от 0 до 9 ($y \in \{0, 1, ..., 9\}$).

1) Найти двузначное число, которое в два раза больше суммы своих цифр.

Запишем условие на математическом языке:

$10x + y = 2(x + y)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выразить одну переменную через другую:

$10x + y = 2x + 2y$

$10x - 2x = 2y - y$

$8x = y$

Теперь найдем подходящие цифры x и y. Будем подставлять возможные значения для x:

Если $x = 1$, то $y = 8 \cdot 1 = 8$. Это допустимое значение для цифры единиц. Получается число 18.

Проверка: Сумма цифр числа 18 равна $1 + 8 = 9$. Число 18 действительно в два раза больше 9 ($2 \cdot 9 = 18$).

Если $x = 2$, то $y = 8 \cdot 2 = 16$. Это число не является цифрой, поэтому оно не подходит. Для $x > 2$ значения y будут еще больше, значит, других решений нет.

Ответ: 18.

2) Найти двузначное число, которое на 26 больше произведения своих цифр.

Запишем условие в виде уравнения:

$10x + y = x \cdot y + 26$

Преобразуем уравнение, чтобы было удобнее находить целочисленные решения. Выразим y:

$10x - 26 = xy - y$

$10x - 26 = y(x - 1)$

$y = \frac{10x - 26}{x - 1}$

Переберем возможные значения для x от 2 до 9 (x не может быть равно 1, так как это приведет к делению на ноль).

При $x=2$: $y = \frac{10 \cdot 2 - 26}{2 - 1} = \frac{-6}{1} = -6$. Не подходит, так как цифра не может быть отрицательной.

При $x=3$: $y = \frac{10 \cdot 3 - 26}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$. Подходит. Число: 32. Проверка: $3 \cdot 2 + 26 = 6 + 26 = 32$. Верно.

При $x=4$: $y = \frac{10 \cdot 4 - 26}{4 - 1} = \frac{14}{3}$. Не целое число.

При $x=5$: $y = \frac{10 \cdot 5 - 26}{5 - 1} = \frac{24}{4} = 6$. Подходит. Число: 56. Проверка: $5 \cdot 6 + 26 = 30 + 26 = 56$. Верно.

При $x=6$: $y = \frac{10 \cdot 6 - 26}{6 - 1} = \frac{34}{5}$. Не целое число.

При $x=7$: $y = \frac{10 \cdot 7 - 26}{7 - 1} = \frac{44}{6}$. Не целое число.

При $x=8$: $y = \frac{10 \cdot 8 - 26}{8 - 1} = \frac{54}{7}$. Не целое число.

При $x=9$: $y = \frac{10 \cdot 9 - 26}{9 - 1} = \frac{64}{8} = 8$. Подходит. Число: 98. Проверка: $9 \cdot 8 + 26 = 72 + 26 = 98$. Верно.

Ответ: 32, 56, 98.

3) Если цифры задуманного двузначного числа поменять местами, то получится число, на 18 большее, чем исходное.

Исходное число — $10x + y$. Число с переставленными цифрами — $10y + x$.

Запишем условие задачи:

$10y + x = (10x + y) + 18$

Упростим уравнение:

$10y - y + x - 10x = 18$

$9y - 9x = 18$

$y - x = 2$ или $y = x + 2$

Найдем все пары цифр, удовлетворяющие этому условию:

Если $x = 1$, то $y = 1 + 2 = 3$. Число: 13. (Проверка: $31 = 13 + 18$)

Если $x = 2$, то $y = 2 + 2 = 4$. Число: 24. (Проверка: $42 = 24 + 18$)

Если $x = 3$, то $y = 3 + 2 = 5$. Число: 35. (Проверка: $53 = 35 + 18$)

Если $x = 4$, то $y = 4 + 2 = 6$. Число: 46. (Проверка: $64 = 46 + 18$)

Если $x = 5$, то $y = 5 + 2 = 7$. Число: 57. (Проверка: $75 = 57 + 18$)

Если $x = 6$, то $y = 6 + 2 = 8$. Число: 68. (Проверка: $86 = 68 + 18$)

Если $x = 7$, то $y = 7 + 2 = 9$. Число: 79. (Проверка: $97 = 79 + 18$)

Если $x=8$, то $y=10$, что не является цифрой.

Ответ: 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79.

4) Если цифры задуманного двузначного числа поменять местами, то получится число, на 27 меньшее, чем исходное.

Исходное число — $10x + y$. Число с переставленными цифрами — $10y + x$.

Запишем условие задачи:

$10y + x = (10x + y) - 27$

Упростим уравнение:

$27 = (10x + y) - (10y + x)$

$27 = 10x - x + y - 10y$

$27 = 9x - 9y$

$3 = x - y$ или $x = y + 3$

Найдем все пары цифр, удовлетворяющие этому условию:

Если $y = 0$, то $x = 0 + 3 = 3$. Число: 30. (Проверка: $03 = 30 - 27$)

Если $y = 1$, то $x = 1 + 3 = 4$. Число: 41. (Проверка: $14 = 41 - 27$)

Если $y = 2$, то $x = 2 + 3 = 5$. Число: 52. (Проверка: $25 = 52 - 27$)

Если $y = 3$, то $x = 3 + 3 = 6$. Число: 63. (Проверка: $36 = 63 - 27$)

Если $y = 4$, то $x = 4 + 3 = 7$. Число: 74. (Проверка: $47 = 74 - 27$)

Если $y = 5$, то $x = 5 + 3 = 8$. Число: 85. (Проверка: $58 = 85 - 27$)

Если $y = 6$, то $x = 6 + 3 = 9$. Число: 96. (Проверка: $69 = 96 - 27$)

Если $y=7$, то $x=10$, что не является цифрой.

Ответ: 30, 41, 52, 63, 74, 85, 96.