Номер 136, страница 33, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

D 136 Обозначая цифру десятков двузначного числа буквой $x$, а цифру единиц – буквой $y$, запиши на математическом языке условие задачи.

1) Найти двузначное число, частное от деления которого на произведение его цифр равно 3.

2) Если цифры задуманного двузначного числа поменять местами, то получится число, на 72 меньшее исходного. Какое число задумано?

33

1)

Пусть искомое двузначное число представлено в виде $10x + y$, где $x$ — это цифра десятков ($x \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $y$ — это цифра единиц ($y \in \{0, 1, ..., 9\}$). Произведение его цифр равно $x \cdot y$.

Согласно условию, частное от деления числа на произведение его цифр равно 3. Так как на произведение цифр делят, ни одна из них не может быть нулем, то есть $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Запишем это условие математически:

$$ \frac{10x + y}{xy} = 3 $$

Преобразуем уравнение, чтобы выразить одну переменную через другую:

$$ 10x + y = 3xy $$

$$ 10x = 3xy - y $$

$$ 10x = y(3x - 1) $$

$$ y = \frac{10x}{3x - 1} $$

Теперь необходимо найти целые значения $y$ в диапазоне от 1 до 9, подставляя целые значения $x$ от 1 до 9.

При $x=1$: $y = \frac{10 \cdot 1}{3 \cdot 1 - 1} = \frac{10}{2} = 5$. Цифра $y=5$ является допустимым значением. Искомое число — 15. Проверим: $\frac{15}{1 \cdot 5} = \frac{15}{5} = 3$.

При $x=2$: $y = \frac{10 \cdot 2}{3 \cdot 2 - 1} = \frac{20}{5} = 4$. Цифра $y=4$ также является допустимым значением. Искомое число — 24. Проверим: $\frac{24}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$.

При $x=3$: $y = \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3 - 1} = \frac{30}{8} = 3.75$. Это не целое число, поэтому не подходит.

При дальнейших увеличениях $x$, значение $y$ будет продолжать уменьшаться и не даст других целых решений. Таким образом, условию удовлетворяют два числа.

Ответ: 15 или 24.

2)

Пусть задуманное двузначное число — это $10x + y$, где $x$ — цифра десятков ($x \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $y$ — цифра единиц ($y \in \{0, 1, ..., 9\}$). Число, полученное после перестановки цифр, равно $10y + x$.

По условию, новое число на 72 меньше исходного. Это означает, что разность между исходным и новым числом равна 72. Составим уравнение:

$$ (10x + y) - (10y + x) = 72 $$

Упростим полученное уравнение:

$$ 10x + y - 10y - x = 72 $$

$$ 9x - 9y = 72 $$

Разделим обе части уравнения на 9:

$$ x - y = 8 $$

Нам нужно найти пары цифр $x$ и $y$, для которых выполняется это равенство. Так как $x$ и $y$ — это цифры, причем $x \ge 1$ и $y \ge 0$, а их разность равна 8, $x$ должен быть не меньше 8.

Рассмотрим возможные случаи:

Если $x=9$, то $y = x - 8 = 9 - 8 = 1$. Получаем число 91. Проверка: новое число — 19. Разность $91 - 19 = 72$. Условие выполнено.

Если $x=8$, то $y = x - 8 = 8 - 8 = 0$. Получаем число 80. Проверка: новое число — 08, то есть 8. Разность $80 - 8 = 72$. Условие выполнено.

Если $x < 8$, то $y$ будет отрицательным, что невозможно для цифры.

Следовательно, существуют два числа, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: 80 или 91.