Номер 137, страница 34, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

137 Построй математическую модель задачи, используя для обозначения неизвестных величин буквы $x$ и $y$.

1) Сумма двух чисел равна 105, а их частное равно 6. Какие это числа?

2) Площадь прямоугольника равна $288 \text{ см}^2$, а его периметр – $72 \text{ см}$. Чему равны стороны этого прямоугольника?

1)

Обозначим искомые числа буквами $x$ и $y$.

По условию задачи, сумма этих чисел равна 105, а их частное (результат деления одного числа на другое) равно 6. Это можно представить в виде системы двух уравнений с двумя неизвестными, которая и будет математической моделью задачи:

$ \begin{cases} x + y = 105 \\ \frac{x}{y} = 6 \end{cases} $

Для решения этой системы выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 6y$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(6y) + y = 105$

Приведем подобные члены:

$7y = 105$

Найдем $y$:

$y = \frac{105}{7}$

$y = 15$

Зная значение $y$, найдем $x$, подставив 15 в выражение $x = 6y$:

$x = 6 \cdot 15$

$x = 90$

Таким образом, мы нашли два числа: 90 и 15.

Проверим: их сумма $90 + 15 = 105$, а их частное $\frac{90}{15} = 6$. Оба условия задачи выполнены.

Ответ: 90 и 15.

2)

Обозначим стороны прямоугольника буквами $x$ и $y$ (в сантиметрах).

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его сторон, а периметр ($P$) — как удвоенная сумма его сторон. По условию, $S = 288$ см², а $P = 72$ см. Составим математическую модель в виде системы уравнений:

$ \begin{cases} x \cdot y = 288 \\ 2(x+y) = 72 \end{cases} $

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$x+y = 36$

Выразим из этого уравнения $y$ через $x$:

$y = 36 - x$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x \cdot (36 - x) = 288$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$36x - x^2 = 288$

$x^2 - 36x + 288 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу для корней через дискриминант. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 288 = 1296 - 1152 = 144$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 12}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 12}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Полученные значения $x_1$ и $x_2$ являются длинами сторон прямоугольника. Если $x=24$ см, то $y = 36 - 24 = 12$ см. Если $x=12$ см, то $y = 36 - 12 = 24$ см. В обоих случаях стороны прямоугольника равны 12 см и 24 см.

Проверим: площадь $12 \cdot 24 = 288$ см², периметр $2(12+24) = 2 \cdot 36 = 72$ см. Условия задачи выполнены.

Ответ: стороны прямоугольника равны 12 см и 24 см.