Номер 146, страница 37, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

146 Обозначь наименьшую из неизвестных величин х и построй математическую модель задачи. Найди х и ответь на поставленные вопросы.

1) Верёвку разрезали на 3 куска. В первом куске было 8 дм, а во втором - на 5 дм больше, чем в третьем. В первых двух кусках вместе 1 м 7 дм. Чему равна длина третьего куска? Чему равна длина всей верёвки?

2) Для компота взяли 400 г яблок, а слив — на 200 г меньше, чем вишен. Масса всех фруктов составила 1 кг 600 г. Сколько слив и сколько вишен взяли для компота?

3) Галстук в 2 раза дешевле рубашки, а рубашка — в 8 раз дешевле костюма. Сколько стоит галстук, если костюм 4800 р.?

4) Площадь огорода в 4 раза меньше площади сада, а площадь сада — в 5 раз меньше площади поля. Чему равна площадь огорода, если площадь поля составляет 1 га 20 а?

5) Для смеси требуется смешать 3 части песка и 2 части цемента. Сколько песка и цемента надо взять, чтобы получить 60 кг смеси?

6) При помоле на каждые 4 части муки получается 1 часть отходов. Сколько смололи пшеницы, если муки получилось на 72 ц больше, чем отходов?

7) Отец старше сына в три раза, или на 34 года. Сколько лет отцу? А сколько лет сыну?

8) Максимальная скорость, с которой может передвигаться заяц-русак, на 25 км/ч, или в 2 раза, больше скорости землеройки. С какой максимальной скоростью могут передвигаться заяц-русак и землеройка?

9) В трёх вазах 27 цветков, причём во второй вазе цветков в 5 раз больше, а в третьей вазе — в 3 раза больше, чем в первой. Сколько цветков в каждой вазе?

10) Путешественник проплыл на лодке расстояние, в 2 раза большее, чем прошёл пешком, а проехал на лошади расстояние, в 6 раз большее, чем проплыл на лодке. Сколько километров проехал путешественник на лошади, если всего он преодолел 105 км?

1) Обозначим наименьшую из неизвестных величин, длину третьего куска верёвки, за $x$ дм.
Согласно условию, второй кусок на 5 дм длиннее третьего, значит, его длина составляет $(x + 5)$ дм.
Длина первого куска известна и равна 8 дм.
Сумма длин первого и второго кусков составляет 1 м 7 дм, что равно $10 + 7 = 17$ дм.
Составим математическую модель (уравнение), сложив длины первого и второго кусков:
$8 + (x + 5) = 17$
Решим уравнение:
$13 + x = 17$
$x = 17 - 13$
$x = 4$
Таким образом, длина третьего куска верёвки равна 4 дм.
Теперь ответим на вопросы задачи:
Длина третьего куска равна 4 дм.
Чтобы найти длину всей верёвки, нужно сложить длины всех трёх кусков. Длина второго куска равна $x + 5 = 4 + 5 = 9$ дм.
Общая длина: $8 \text{ дм} + 9 \text{ дм} + 4 \text{ дм} = 21$ дм.
Ответ: длина третьего куска — 4 дм, длина всей верёвки — 21 дм.

2) Обозначим наименьшую из неизвестных величин, массу слив, за $x$ г.
Сказано, что слив на 200 г меньше, чем вишен. Это значит, что масса вишен на 200 г больше, чем масса слив. Масса вишен составляет $(x + 200)$ г.
Масса яблок известна и равна 400 г.
Общая масса всех фруктов составляет 1 кг 600 г, что равно 1600 г.
Составим уравнение, сложив массы всех фруктов:
$400 + x + (x + 200) = 1600$
Решим уравнение:
$2x + 600 = 1600$
$2x = 1600 - 600$
$2x = 1000$
$x = 500$
Итак, масса слив ($x$) равна 500 г.
Масса вишен равна $x + 200 = 500 + 200 = 700$ г.
Ответ: для компота взяли 500 г слив и 700 г вишен.

3) Обозначим наименьшую из величин, стоимость галстука, за $x$ рублей.
Галстук в 2 раза дешевле рубашки, значит, рубашка стоит в 2 раза дороже, то есть $2x$ рублей.
Рубашка в 8 раз дешевле костюма, значит, костюм стоит в 8 раз дороже рубашки, то есть $8 \times (2x) = 16x$ рублей.
Стоимость костюма известна и составляет 4800 рублей.
Составим уравнение:
$16x = 4800$
Решим уравнение:
$x = 4800 / 16$
$x = 300$
Следовательно, стоимость галстука ($x$) составляет 300 рублей.
Ответ: галстук стоит 300 рублей.

4) Обозначим наименьшую из величин, площадь огорода, за $x$.
Площадь огорода в 4 раза меньше площади сада, значит, площадь сада в 4 раза больше и равна $4x$.
Площадь сада в 5 раз меньше площади поля, значит, площадь поля в 5 раз больше площади сада и равна $5 \times (4x) = 20x$.
Площадь поля составляет 1 га 20 а. Переведём эту величину в ары: 1 га = 100 а, следовательно, 1 га 20 а = $100 + 20 = 120$ а.
Составим уравнение:
$20x = 120$
Решим уравнение:
$x = 120 / 20$
$x = 6$
Площадь огорода ($x$) равна 6 а.
Ответ: площадь огорода равна 6 а.

5) В смеси 3 части песка и 2 части цемента. Всего в смеси $3 + 2 = 5$ частей.
Обозначим массу одной части смеси за $x$ кг.
Тогда масса песка составит $3x$ кг, а масса цемента — $2x$ кг.
Общая масса смеси составляет 60 кг.
Составим уравнение:
$3x + 2x = 60$
Решим уравнение:
$5x = 60$
$x = 60 / 5$
$x = 12$
Масса одной части равна 12 кг.
Найдём массу песка и цемента:
Песок: $3 \times 12 = 36$ кг.
Цемент: $2 \times 12 = 24$ кг.
Ответ: надо взять 36 кг песка и 24 кг цемента.

6) При помоле на каждые 4 части муки получается 1 часть отходов.
Обозначим массу одной части за $x$ центнеров (ц).
Тогда масса муки составляет $4x$ ц, а масса отходов — $x$ ц.
Известно, что муки получилось на 72 ц больше, чем отходов.
Составим уравнение на основе этой разницы:
$4x - x = 72$
Решим уравнение:
$3x = 72$
$x = 72 / 3$
$x = 24$
Масса одной части равна 24 ц.
Вопрос задачи: "Сколько смололи пшеницы?". Пшеница — это исходное сырьё, состоящее из муки и отходов.
Общее количество частей пшеницы: $4 (\text{мука}) + 1 (\text{отходы}) = 5$ частей.
Общая масса пшеницы: $5x = 5 \times 24 = 120$ ц.
Ответ: смололи 120 ц пшеницы.

7) Обозначим наименьшую величину, возраст сына, за $x$ лет.
По условию, отец старше сына в три раза, значит, возраст отца можно выразить как $3x$ лет.
Также по условию, отец старше сына на 34 года, то есть его возраст можно выразить как $(x + 34)$ лет.
Поскольку оба выражения описывают возраст отца, мы можем их приравнять и составить уравнение:
$3x = x + 34$
Решим уравнение:
$3x - x = 34$
$2x = 34$
$x = 17$
Возраст сына ($x$) — 17 лет.
Возраст отца — $3x = 3 \times 17 = 51$ год.
Ответ: отцу 51 год, а сыну 17 лет.

8) Обозначим наименьшую величину, скорость землеройки, за $x$ км/ч.
В условии сказано, что скорость зайца-русака "на 25 км/ч, или в 2 раза, больше скорости землеройки". Это означает, что скорость зайца можно выразить двумя способами, и оба они будут равны.
1. Скорость зайца: $(x + 25)$ км/ч.
2. Скорость зайца: $2x$ км/ч.
Приравняем эти два выражения, чтобы найти $x$:
$2x = x + 25$
Решим уравнение:
$2x - x = 25$
$x = 25$
Скорость землеройки ($x$) равна 25 км/ч.
Скорость зайца-русака равна $2x = 2 \times 25 = 50$ км/ч.
Ответ: максимальная скорость зайца-русака — 50 км/ч, а землеройки — 25 км/ч.

9) Обозначим наименьшую величину, количество цветков в первой вазе, за $x$.
Во второй вазе цветков в 5 раз больше, чем в первой, то есть $5x$ цветков.
В третьей вазе цветков в 3 раза больше, чем в первой, то есть $3x$ цветков.
Всего в трёх вазах 27 цветков.
Составим уравнение, сложив количество цветков во всех вазах:
$x + 5x + 3x = 27$
Решим уравнение:
$9x = 27$
$x = 3$
Количество цветков в первой вазе ($x$): 3.
Количество цветков во второй вазе: $5 \times 3 = 15$.
Количество цветков в третьей вазе: $3 \times 3 = 9$.
Ответ: в первой вазе 3 цветка, во второй — 15 цветков, в третьей — 9 цветков.

10) Обозначим наименьшую из величин, расстояние, которое путешественник прошёл пешком, за $x$ км.
Расстояние, которое он проплыл на лодке, в 2 раза больше, то есть $2x$ км.
Расстояние, которое он проехал на лошади, в 6 раз больше, чем проплыл на лодке, то есть $6 \times (2x) = 12x$ км.
Всего он преодолел 105 км.
Составим уравнение, сложив все три расстояния:
$x + 2x + 12x = 105$
Решим уравнение:
$15x = 105$
$x = 105 / 15$
$x = 7$
Путешественник прошёл пешком ($x$) 7 км.
Вопрос задачи: "Сколько километров проехал путешественник на лошади?".
Расстояние на лошади равно $12x = 12 \times 7 = 84$ км.
Ответ: на лошади путешественник проехал 84 км.