Номер 210, страница 54, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

210 Реши задачу методом перебора.

1) Найти двузначное число, которое на 34 больше произведения своих цифр.

2) Для новогоднего праздника надо было изготовить 48 гирлянд. Эту работу поручили нескольким ученикам, распределив между ними гирлянды по-ровну. Если бы учеников было на 2 больше, то гирлянд каждому пришлось бы делать на 4 меньше. Сколько было учеников и сколько гирлянд сделал каждый из них?

1)

Пусть искомое двузначное число имеет вид $\overline{ab}$, где $a$ – цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. Тогда значение этого числа можно записать как $10a + b$. Произведение его цифр равно $a \cdot b$. По условию задачи, число на 34 больше произведения своих цифр. Составим уравнение:

$10a + b = a \cdot b + 34$

Так как задачу нужно решить методом перебора, будем перебирать возможные значения для цифры десятков $a$ (от 1 до 9) и находить соответствующее значение $b$. Для удобства выразим $b$ из уравнения:

$10a - 34 = a \cdot b - b$

$10a - 34 = b(a - 1)$

$b = \frac{10a - 34}{a - 1}$

Теперь будем подставлять значения $a$ от 1 до 9 и проверять, является ли $b$ целой цифрой от 0 до 9.

• При $a=1$: в знаменателе получается 0, деление невозможно.
• При $a=2$: $b = \frac{10 \cdot 2 - 34}{2 - 1} = \frac{20 - 34}{1} = -14$. Не является цифрой.
• При $a=3$: $b = \frac{10 \cdot 3 - 34}{3 - 1} = \frac{30 - 34}{2} = -2$. Не является цифрой.
• При $a=4$: $b = \frac{10 \cdot 4 - 34}{4 - 1} = \frac{40 - 34}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Получили цифру. Искомое число — 42. Проверка: $4 \cdot 2 + 34 = 8 + 34 = 42$. Верно.
• При $a=5$: $b = \frac{10 \cdot 5 - 34}{5 - 1} = \frac{50 - 34}{4} = \frac{16}{4} = 4$. Получили цифру. Искомое число — 54. Проверка: $5 \cdot 4 + 34 = 20 + 34 = 54$. Верно.
• При $a=6$: $b = \frac{10 \cdot 6 - 34}{6 - 1} = \frac{60 - 34}{5} = \frac{26}{5} = 5.2$. Не является целым числом.
• При $a=7$: $b = \frac{10 \cdot 7 - 34}{7 - 1} = \frac{70 - 34}{6} = \frac{36}{6} = 6$. Получили цифру. Искомое число — 76. Проверка: $7 \cdot 6 + 34 = 42 + 34 = 76$. Верно.
• При $a=8$: $b = \frac{10 \cdot 8 - 34}{8 - 1} = \frac{80 - 34}{7} = \frac{46}{7}$. Не является целым числом.
• При $a=9$: $b = \frac{10 \cdot 9 - 34}{9 - 1} = \frac{90 - 34}{8} = \frac{56}{8} = 7$. Получили цифру. Искомое число — 97. Проверка: $9 \cdot 7 + 34 = 63 + 34 = 97$. Верно.

Условию задачи удовлетворяют несколько чисел.

Ответ: 42, 54, 76, 97.

2)

Пусть $x$ – первоначальное количество учеников, а $y$ – количество гирлянд, которое сделал каждый ученик. Всего нужно было изготовить 48 гирлянд. Составим первое уравнение:

$x \cdot y = 48$

По условию, если бы учеников было на 2 больше ($x+2$), то гирлянд каждому пришлось бы делать на 4 меньше ($y-4$). Общее количество гирлянд осталось бы тем же. Составим второе уравнение:

$(x + 2) \cdot (y - 4) = 48$

Решим задачу методом перебора. Поскольку количество учеников и гирлянд должно быть целым и положительным числом, $x$ и $y$ являются делителями числа 48. Выпишем все пары целых чисел, произведение которых равно 48:

1 и 48, 2 и 24, 3 и 16, 4 и 12, 6 и 8, 8 и 6, 12 и 4, 16 и 3, 24 и 2, 48 и 1.

Теперь будем проверять эти пары, подставляя их во второе уравнение $(x + 2) \cdot (y - 4) = 48$. Также учтем, что по смыслу задачи $y > 4$, так как каждый делал на 4 гирлянды меньше.

• Пусть $x=1, y=48$. Проверка: $(1+2) \cdot (48-4) = 3 \cdot 44 = 132 \ne 48$. Не подходит.
• Пусть $x=2, y=24$. Проверка: $(2+2) \cdot (24-4) = 4 \cdot 20 = 80 \ne 48$. Не подходит.
• Пусть $x=3, y=16$. Проверка: $(3+2) \cdot (16-4) = 5 \cdot 12 = 60 \ne 48$. Не подходит.
• Пусть $x=4, y=12$. Проверка: $(4+2) \cdot (12-4) = 6 \cdot 8 = 48$. Подходит.
• Пусть $x=6, y=8$. Проверка: $(6+2) \cdot (8-4) = 8 \cdot 4 = 32 \ne 48$. Не подходит.
• Пусть $x=8, y=6$. Проверка: $(8+2) \cdot (6-4) = 10 \cdot 2 = 20 \ne 48$. Не подходит.

Дальнейшие пары можно не проверять, так как для них значение $y$ будет меньше или равно 4, что противоречит условию $y-4 > 0$.

Таким образом, единственное подходящее решение: было 4 ученика, и каждый сделал 12 гирлянд.

Ответ: было 4 ученика, каждый из них сделал 12 гирлянд.